$\Sigma$記号に慣れる

まずは $\Sigma$ 記号に慣れるために，例題をみていくことにしよう．

$\Sigma$ 記号の練習～その１～

次の和を， $\Sigma$ 記号を用いずに表せ(計算はしなくてよい)．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}(2k-1)$
  2. $\displaystyle\sum_{k=2}^{4}3k^2$
  3. $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}3$
  4. $\displaystyle\sum_{j=1}^{n}3^j$
  5. $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}(2n-1)$

  1. \[\sum_{k=1}^{3}(2k-1)=\boldsymbol{1+3+5}\]
  2. \[\sum_{k=2}^{4}3k^2=\boldsymbol{3\cdot2^2+3\cdot3^2+3\cdot4^2}\]
  3. \[\sum_{i=1}^{n}3=\boldsymbol{3+3+3+\cdots+3}\]

    $\blacktriangleleft$ 3は全部で $n$ 個ある

  4. \[\sum_{j=1}^{n}3^j=\boldsymbol{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^n}\]
  5. \begin{align} &\sum_{k=1}^{3}(2n-1)\\ =&\ \boldsymbol{(2n-1)+(2n-1)+(2n-1)}\\ \end{align}

    $\blacktriangleleft$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{3}$ の変数は $k$ なので $a_k=2n-1$ であり，この数列の値は $k$ に何を代入しても $2n-1$ となる

次に数列の和を $\Sigma$ 記号に書き直してみよう．

$\Sigma$ 記号の練習～その２～

次の和を， $\Sigma$ 記号を用いて表せ．

  1. $1^2+2^2+3^2+\cdots+7^2$
  2. $3+5+7+\cdots+(2n+1)$
  3. $3+3+3+\cdots+3$

    4. (3は全部で $n$ 個あるとする)

  4. $1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot7$

$\Sigma$ 記号に書き直すときには，まずは数列の一般項を求めるとよい．そうすれば数列の和が

\[\sum_{k=(最初の項番号)}^{(最後の項番号)}(一般項)\]

と表現することが出来るようになる．

  1. \[1^2+2^2+3^2+\cdots+7^2=\boldsymbol{\sum_{k=1}^{7}k^2}\]

    $\blacktriangleleft$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}k^2$ 以外にも $\displaystyle\sum_{k=2}^{8}(k-1)^2,\sum_{k=0}^{6}(k+1)^2$ と表せる

  2. \[3+5+7+\cdots+(2n+1)=\boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}(2k+1)}\]
  3. \[\underbrace{3+3+3+\cdots+3}_{n個}=\boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}3}\]
  4. \begin{align} &1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+5\cdot7\\ =&\ \boldsymbol{\sum_{k=1}^{5}k(k+2)} \end{align}

$\Sigma$ 記号の練習～その３～

次の和はどれも同じことを表現していることを確認せよ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2^k$
  2. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n+1}2^{k-1}$
  3. $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(2\cdot2^{i-1})$

$\Sigma$ 記号から数列の和に書き下して同一であることを確かめればよい．和はそれぞれ

  1. \[\sum_{k=1}^{n}2^k=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n\]
  2. \[\sum_{k=2}^{n+1}2^{k-1}=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n\]
  3. \begin{align} &\sum_{i=1}^{n}(2\cdot2^{i-1})\\ =&\ 2\cdot2^0+2\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+2\cdot2^{n-1}\\ =&\ 2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n \end{align}

となり，同じことを表現している．