$\Sigma$記号の公式

複雑な数列の和が計算できるように，ここでは $\Sigma$ 記号の公式を学んでいこう．

暗記基本的な $\Sigma$ の計算～その１～

次の数列の和を求めよ．ただし， $c$ は定数とする．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$

  1. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}c=\underbrace{c+c+c+\cdots+c}_{n個}=\boldsymbol{nc} \end{align}

    $\blacktriangleleft$ $n$ 個の $c$ の和は $nc$ である

  2. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}k=\underbrace{1+2+3+\cdots+n}_{n個}=\boldsymbol{\frac{n(n+1)}{2}} \end{align}

    $\blacktriangleleft$ 初項1，公差1の等差数列の和である

暗記基本的な $\Sigma$ の計算～その２～

等式

\begin{align} k(k+1)&=\dfrac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)\} \end{align}

を利用して

\[\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\]

を証明せよ．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)\\ =&\ \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\right]\\ &\ \blacktriangleleft等式を利用した\\ =&\ \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\\ =&\ \frac{1}{3}[\ \ (1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2)\\\\ &\quad+(2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3)\\\\ &\quad+(3\cdot4\cdot5-2\cdot3\cdot4)\\\\ &\quad+\cdots\\\\ &\quad+\{(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n\}\\\\ &\quad+\{n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\}]\\\\ &\ \blacktriangleleft数列を書き下すことにより項が相\\ &\quad\ \ 殺して消えていくことがわかる\\\\ =&\ \frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \end{align}

なので

\begin{align} &\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow\ &\sum_{k=1}^{n}\left(k^2+k\right)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow\ &\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow\ &\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^{n}k \end{align}

よって

\begin{align} \sum_{k=1}^{n}k^2&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{1}{6}2n(n+1)(n+2)-\frac{1}{6}3n(n+1)\\ &\blacktriangleleft\frac{1}{6}で通分した\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{2(n+2)-3\}\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{align}

自然数の累乗の和

数列の和に関して，次の式がなりたつ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
  3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
  4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$

$\Sigma$ の計算

次の数列の和を求めよ．

  1. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$
  2. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1)^2$

  1. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}k(k+1)&=\sum_{k=1}^{n}(k^2+k)=\sum_{k=1}^{n}k^2+\sum_{k=1}^{n}k\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &\qquad+\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{(2n+1)+3\}\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)} \end{align}
  2. \begin{align} \sum_{k=1}^{n}(2k+1)^2&=\sum_{k=1}^{n}(4k^2+4k+1)\\ &=4\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1\\ &=4\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ &\qquad+4\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+n\\ &=\frac{1}{3}n\{2(n+1)(2n+1)\\ &\qquad+6(n+1)+3\}\\ &=\boldsymbol{\frac{1}{3}n(4n^2+12n+11)} \end{align}