等比数列の$\Sigma$計算
$c$ は定数として， $\sum c^{(kの1次式)}$ タイプの和は，すべて等比数列の和として求めることができる．
等比数列の $\Sigma$ 計算
次の数列の和を求めよ．
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3^k$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k$
- $\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}3^k$
- $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}3^{k-1}$
- $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}3^{2k-1}$
-
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}3^k&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^n}_{n個}\\
&=\frac{3(1-3^n)}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^n-1)}{2}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n-1}3^k&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}}_{n-1個}\\
&=\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{k=2}^{n-1}3^k&=\underbrace{3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{n-1}}_{n-2個}\\
&=\frac{3^2(1-3^{n-2})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{9(3^{n-2}-1)}{2}}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{k=2}^{n}3^{k-1}&=\underbrace{3^1+3^2+3^3+\cdots+3^{n-1}}_{n-1個}\\
&=\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\boldsymbol{\frac{3(3^{n-1}-1)}{2}}\\
&\blacktriangleleft 2. と同じ答えである
\end{align}
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}3^{2k-1}&=\underbrace{3^1+3^3+3^5+\cdots+3^{2n-1}}_{n個}\\
&=3+3\cdot9+3\cdot9^2+\cdots+3\cdot9^{n-1}\\
&=\frac{3(1-9^n)}{1-9}=\boldsymbol{\frac{3(9^n-1)}{8}}
\end{align}
吹き出し無題
繰り返しになるが， $\sum c^{(kの1次式)}$ タイプの和は，等比数列の和として求めることができる．和を求める際には，数列の和を一度書き下してみて，初項と公比と項数をチェックすればよい．