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Σk(k+1)(1n項まで)の求め方

(無題) (無題)

一般項 an

an=n(n+1)

で与えられる数列は,具体的に書くと

1234512,23,34,45,56,

となる.このように,『2 つの連続した数の積』で表される数列の,初項から第 n 項までの和は次のような手順で求めることができる.

STEP1

an=n(n+1) の2連続数に着目して, n,n+1"続き" である n+2a_n に掛けたものから, n,n+1"1 つ前" である n-1a_n に掛けたものを引く

\underbrace{n(n+1)}_{a_n}(n+2)-(n-1)\underbrace{n(n+1)}_{a_n}

\text{STEP}2

共通因数 n(n+1) のかたまりを崩さないようにまとめ, n(n+1) について解く.

\begin{align} &\ n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)\\ =\ &n(n+1)\{(n+2)-(n-1)\}\\ =\ &3n(n+1) \end{align}

よって

\begin{align} n(n+1)&=\frac{1}{3}\{n(n+1)(n+2)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)\} \end{align}

\text{STEP}3

この関係式を利用して,初項から第 n 項までの和を,具体的に書き出してみる.

\begin{align} &\sum_{k=1}^nk(k+1)\\ =&\sum_{k=1}^n\bigg[\dfrac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)\\ &\qquad-(k-1)k(k+1)\}\bigg]\\ =&\dfrac{1}{3}\sum_{k=1}^n\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\}\\ =&\dfrac{1}{3}\big[(1\cdot2\cdot3-0\cdot1\cdot2)\\ &\qquad+(2\cdot3\cdot4-1\cdot2\cdot3)\\ &\qquad+(3\cdot4\cdot5-2\cdot3\cdot4)+\cdots\\ &\qquad+\{(n-1)n(n+1)\\ &\qquad-(n-2)(n-1)n\}\\ &\qquad+\{n(n+1)(n+2)\\ &\qquad-(n-1)n(n+1)\}\big] \end{align}

\text{STEP}4

相殺して消える部分ができるので,下のように消していくと,和が求まる.

以上,まとめておこう.

2連続数の積の数列の和

\sum_{k=1}^nk(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)