${\Sigma}k^2$($1$～$n$項まで)の求め方

一般項 $a_n$ が

\[a_n=n^2\]

で与えられる数列は，具体的に書くと

\begin{array}{c} \boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}&\boxed{4}&\boxed{5}&\boxed{6}&\\ 1^2,&2^2,&3^2,&4^2,&5^2,&6^2,&\cdots \end{array}

となる．このように，『 $a_n=n^2$ 』で表される数列の，初項から第 $n$ 項までの和は次のような手順で求めることができる．

$\text{STEP}1$

2連続数の積の数列の和の公式

\[\sum_{k=1}^nk(k+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\]

を思い出す．

$\text{STEP}2$

左辺の $\Sigma$ の中の式を展開すると， $k^2+k$ になるから， $k$ の項を右辺に移項する．

\begin{align} &\ \sum_{k=1}^n(k^2+k)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \Leftrightarrow&\ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^nk \end{align}

$\text{STEP}3$

右辺の $\sum_{k=1}^nk$ を計算し，共通因数でまとめると和の公式が求まる．

\begin{align} \sum_{k=1}^nk^2&=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\sum_{k=1}^nk\\ &=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)-\frac{1}{2}n(n+1)\\ &=\frac{1}{6}2n(n+1)(n+2)-\frac{1}{6}3n(n+1)\\ &\uparrow\frac{1}{6}で通分\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)\{2(n+2)-3\}\\ &=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \end{align}

以上，まとめておこう．