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階差型漸化式～その１～

$a_1=1,a_{n+1}=a_n+n^2\quad(n\geqq1)$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ．

このようなタイプの漸化式は， $a_n$ を移項して

$\begin{align} &a_{n+1}=a_n+n^2\\ \Leftrightarrow\ &a_{n+1}-a_n=n^2 \end{align}$

と変形すると，数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ の一般項が $b_n=n^2$ として与えられているものだと考えられる．

よって，階差数列の公式を利用してやれば， $n\geqq2$ で

$\begin{align} a_n&=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k\\ &=1+\sum_{k=1}^{n-1}k^2\\ &=1+\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) \end{align}$

となる．また，この式の右辺の $n$ に1を代入すると，1となり $a_1$ に一致するから，この式は $n=1$ でも成立する．

以上から， $n\geqq1$ で $a_n=1+\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$ となる．

ポイントは「階差数列の一般項が与えられている」と気づくことである．