線形2項間漸化式

次の問題について考えてみよう.

線形2項間漸化式~その1~

$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+2\quad(n\geqq1)$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ.

まず,上の式の $n$ に $n=1,2,3,4,5,6,\cdots,n$ を代入し,具体的に数列を書き並べてみると

\begin{array}{rc} n:&1&2&3&4&5&6&\cdots&n\\ \{a_n\}:&1&5&17&53&161&485&\cdots&\boxed{?} \end{array}

となるが,数列 $\{a_n\}$ は等差数列でも等比数列でもないので, $\boxed{?}$ の部分はすぐにはわからない.