等比数列の漸化式に帰着させる（3項間）

漸化式

\[a_{n+1}=3a_n+2\tag{1}\label{touhisuretunikityaku1}\]

において注目すべきは $a_n$ の係数(=3)である．具体的に数列を書き並べていくと，数列 $\{a_n\}$ は約3倍ずつ増えていっていることがわかるだろう．

しかしさきほど述べたように，純粋に3倍されているわけではないので等比数列ではない．原因は漸化式 $\eqref{touhisuretunikityaku1}$ で定数(=2)が加えられているためである．そこで，この定数をうまく消去して，最終的に等比数列の性質から一般項を求める方針で考えてみよう．

定数(=2)を消去するために， $a_{n+1}$ と $a_n$ を $x$ に置きなおした等式を考える.

\[x=3x+2\tag{2}\label{touhisuretunikityaku2}\]

$\eqref{touhisuretunikityaku1}$ と $\eqref{touhisuretunikityaku2}$ の式を並べて引き算する．

\begin{array}{c} &a_{n+1}&=&3a_n&+&2\\ -)&x&=&3x&+&2\\\hline &a_{n+1}-x&=&3(a_n-x) \end{array}

これで定数部分を消去することができた．

また， $a_n-x=b_n$ と置きなおすと， $b_{n+1}=3b_n$ となることからもわかるように，等比数列の漸化式に帰着することができた．