線形3項間漸化式
次の問題について考えてみよう．
例題
$a_1=2,a_2=5,a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\ (n\geqq1)$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ．
まず，上の式の $n$ に $n=1,2,3,4,5,6,\cdots,n$ を代入，具体的に数列を書き並べてみると
\begin{align} a_3&=5a_2-6a_1=5\times5-6\times2=13\\ a_4&=5a_3-6a_2=5\times13-6\times5=35\\ a_5&=5a_4-6a_3=5\times35-6\times13=97\\ a_6&=5a_5-6a_4=5\times97-6\times35=275\\ \vdots \end{align}より
\begin{array}{c} n&:&1&2&3&4&5&6&\cdots&n\\ \{a_n\}&:&2&5&13&35&97&275&\cdots&\boxed{?} \end{array}となるが，数列 $\{a_n\}$ は等差数列でも等比数列でもないので， $\boxed{?}$ の部分はすぐにはわからない．