等比数列の漸化式に帰着させる

線形2項間漸化式のときのように線形3項間漸化式でも等比数列に帰着させて，一般項を求める方針で考えてみよう．

\begin{align} pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0\tag{1}\label{touhisuretunikityaku1}\\ a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)\tag{2}\label{touhisuretunikityaku2} \end{align}

漸化式 $\eqref{touhisuretunikityaku1}$ を等比数列型漸化式 $\eqref{touhisuretunikityaku2}$ に変形することができれば，数列 $\{a_{n+1}-\alpha a_n\}$ の一般項を求めることができる．

なお， $\alpha,\beta$ を3項間漸化式における特性方程式の解と呼ぶ． $\alpha,\beta$ は次の方程式から求める．

\[px^2+qx+r=0\]

実際の解法は例題を使って確認しよう．