ベクトルの加法に関する計算法則

一般に，ベクトルの加法について，次のことが成り立つ．

【証明】

1. 

   2 つのベクトル，$\vec{a}，\vec{b}$ について

   \begin{align} \vec{a}&=\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{\text{BC}}\\ \vec{b}&=\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}

   となるように点 $\text{ O}，\text{ A}，\text{ B}，\text{ C}$ をとる．このとき，

   \begin{align} \vec{a}+\vec{b}&=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\\ \vec{b}+\vec{a}&=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \end{align}

   よって

   \[\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\]

   以上より，$\vec{a}+\vec{b}(=\vec{b}+\vec{a})$ は $\overrightarrow{\text{OA}}(=\vec{a})，\overrightarrow{\text{OB}}(=\vec{b})$ によってつくられる平行四辺形 $\text{OACB}$ の対角線のベクトルとして表すことができる．

2. 

   3つのベクトル $\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ について $\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}，\vec{b}=\overrightarrow{\text{AB}}，\vec{c}=\overrightarrow{\text{BC}}$ となるように点 $\text{O}，\text{A}，\text{B}，\text{C}$ をとる．

   このとき，

   \begin{align} (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} &=(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AB}})+\overrightarrow{\text{BC}}\\ &=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\\ \vec{a}+(\vec{b} +\vec{c}) &=\overrightarrow{\text{OA}}+(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}})\\ &=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \end{align}

   よって

   \[(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\]

以上より，ベクトルの和に関しては，その順序を区別しなくてよいので括弧を省略して，$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と書く．