ベクトルの実数倍に関する計算法則

【証明】

1. 

   たとえば右図のように，$3(2\vec{a})$ は $2\vec{a}$ の向きを変えずに大きさを $3$ 倍したベクトルであるが，これは $\vec{a}$ を向きを変えずに $6$ 倍したベクトルと等しい．つまり

   \[3(2\vec{a})=6\vec{a}\]

   一般に，ベクトルの実数倍に関して

   \[m(n\vec{a})=(mn)\vec{a}\]

   が成り立つ．これらは同じベクトルを表すため区別する必要がないので，括弧を省略して単に $mn\vec{a}$ と書くこともある．

2. 

   たとえば右図のように，$(3+2)\vec{a}$ つまり $5\vec{a}$ は，$3\vec{a}$ と $2\vec{a}$ の和つまり $3\vec{a}+2\vec{a}$ と等しい．つまり

   \[(3+2)\vec{a}=3\vec{a}+2\vec{a}\]

   一般に，ベクトルの実数倍に関して

   \[(m+n)\vec{a}=m\vec{a}+n\vec{a}\]

   が成り立つ．

3. 

   たとえば右下図のように，$\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\vec{b}=\overrightarrow{\text{OB}}$ で張られる平行四辺形 $\text{OACB}$ と，$2.5\vec{a}=\overrightarrow{\text{OD}}$ と $2.5\vec{b}=\overrightarrow{\text{OE}}$ で張られる平行四辺形 $\text{ODFE}$ を考える．

   このとき，平行四辺形 $\text{OACB}$ と平行四辺形 $\text{ODFE}$ は相似な図形となり，その相似比は $1:2.5$ となるので

   \[\overrightarrow{\text{OF}}=2.5\overrightarrow{\text{OC}}=2.5(\vec{a}+\vec{b})\]

   となる．また，ベクトルの和から

   \[\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=2.5\vec{a}+2.5\vec{b}\]

   でもあるから

   \[2.5(\vec{a}+\vec{b})=2.5\vec{a}+2.5\vec{b}\]

   が成り立つ．

   一般に，ベクトルの実数倍に関して

   \[m(\vec{a}+\vec{b})=m\vec{a}+m\vec{b}\]

   が成り立つ．