ベクトルの正射影と有向距離

$\vec{0}$ でない2 つの$\vec{a}，\vec{b}$ に対して，点$\text{O}$ を始点として

$$\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}} , \vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}$$

となるように点$\text{A}，\text{B}$ をとる．

いま，右図の点$\text{B}$ からから直線$\text{OA}$ に下ろした垂線の足を$\text{H}$ とする．このとき，$\overrightarrow{\text{OH}}$を$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影(orthogonal projection) ベクトルといい$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ と表す．正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は，$\vec{a}，\vec{b}$ とそのなす角$\theta$を用いて次のように表すことができる．

1. $\boldsymbol{0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ}$ のとき

   
   $$\begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= \dfrac{\text{OB}\cos \theta}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}$$






2. $\boldsymbol{90^\circ < \theta \leqq 180^\circ}$ のとき

   $$\begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= − \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}} \\ &= −\dfrac{\text{OB} \cos(180^\circ − \theta)}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}$$

つまり，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ で$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} =\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}$と表せる．この$\left|\vec{b}\right| \cos \theta$の値のことを，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$の有向距離または符号付長さという．

なお，$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の大きさは

$$\left|_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}\right| =\left|\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\right|$$ $$=\dfrac{\left|\vec{b} \cos \theta\right|}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b} \cos \theta\right|$$

で表される．

【例】

ますめの一辺の長さが1 の右図において

1. $_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$4$
2. $_{\vec{c}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$4$
3. $_{\vec{d}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$0$
4. $_{\vec{e}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$−2$
5. $_{\vec{f}\rightarrow}\vec{a}$ の有向距離は$−4$

となる．