内積の計算法則

ベクトルの内積に関して，次の計算法則が成り立つ．

内積に関する計算法則

交換法則 \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\]
結合法則 \[\vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\]
分配法則 \[\vec{a} \cdot (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\]
\[\vec{a} \cdot \vec{a} \geqq 0\]

【証明】

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので，以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする．

$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角を$\theta$ とすると
\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \cos \theta\\ \vec{b} \cdot \vec{a} &= \left|\vec{b}\right| \left|\vec{a}\right| \cos \theta \end{align}
より，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

右図において，$_{k\vec{b}\rightarrow}\vec{a} = k_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ より
\[\dfrac{\vec{a} \cdot (k\vec{b})}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} = k\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\]
$\vec{a} \neq \vec{0}$ だから，係数を比較して
\[\dfrac{\vec{a} \cdot (k\vec{b})}{\left|\vec{a}\right|^2} = k\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\] \[\Leftrightarrow \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) \]

右図において，$_{(\vec{b}+\vec{c})\rightarrow}\vec{a} =_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} +_{\vec{c}\rightarrow}\vec{a}$ より
\begin{align} \dfrac{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} &=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} +\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a}\\ \Leftrightarrow \dfrac{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})}{\left|\vec{a}\right|^2}\vec{a} &=\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2} +\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{a}\right|^2}\right)\vec{a} \end{align}
$\vec{a} \neq \vec{0}$ だから，係数を比較して
\[\dfrac{\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c})}{\left|\vec{a}\right|^2} =\left(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|^2} +\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{a}\right|^2}\right)\] \[\Leftrightarrow \vec{a} \cdot (\vec{b} +\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \]
等しいベクトルどうしのなす角は$0^\circ$ であるから
\[\vec{a} \cdot \vec{a} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{a}\right|\cos 0^\circ= \left|\vec{a}\right|^2\geqq 0 \] 等号成立は$\left|\vec{a}\right| = 0$，つまり$\vec{a} = 0 $のときに限る．

次の計算が成り立つことを，内積の定義および内積の計算法則1.～3.を用いて証明せよ．なお，2. を証明する際には1. を使ってよい．

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$
$(s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a} + v\vec{b}) $
$= su \left|\vec{a}\right|^2+ (sv + tu)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv \left|\vec{b}\right|^2$

\begin{align} &(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\\ &= \vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1.\\ &= \vec{c} \cdot \vec{a} +\vec{c} \cdot \vec{b} \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則3.\\ &= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1. \end{align}
\begin{align} &(s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a} + v\vec{b})\\ &= (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (u\vec{a}) + (s\vec{a} + t\vec{b}) \cdot (v\vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則3.\\ &= (s\vec{a}) \cdot (u\vec{a}) + (t\vec{b}) \cdot (u\vec{a}) \\ &\qquad + (s\vec{a}) \cdot (v\vec{b}) + (t\vec{b}) \cdot (v\vec{b})\\ &\qquad \blacktriangleleft 1.\\ &= su(\vec{a} \cdot \vec{a}) + tu(\vec{b} \cdot \vec{a}) \\ &\qquad + sv(\vec{a} \cdot \vec{b}) + tv(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則2.\\ &= su(\vec{a} \cdot \vec{a}) + (tu + sv)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &\qquad \blacktriangleleft 計算法則1.\\ &= su \left|\vec{a}\right|^2+ (tu + sv)\vec{a} \cdot \vec{b} + tv \left|\vec{b}\right|^2\\ &\qquad \blacktriangleleft 定義 \end{align}

次に表す式のうち，無意味なものには×を，意味のあるものには○つけよ．

（×）$\vec{a}$ はベクトルで$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数．よって，ベクトルと実数の和となり無意味である．
（○）$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数で$\vec{c}$ はベクトル．よって，$\vec{c}$ の$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 倍の意味をもつ．
（×）2 つの$\cdot$のうち，どちらを内積の記号とみるかで意味するものが異なるので無意味である．
（○）$\vec{b} \cdot \vec{c}$ は実数で$\vec{a}$ はベクトル．よって，$\vec{a}$ の$\vec{b} \cdot \vec{c}$ 倍の意味をもつ．
（×）ベクトルに除法はないので，分母に$\vec{a}$ がある時点で無意味である．
（○）$\vec{a} \cdot \vec{b}$ は実数で$\left|\vec{a}\right|$ も実数であるのでその比を表す．