成分表示された平面ベクトルの内積

成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$の内積について考えてみよう．

まず， $\vec{e_x} =\dbinom{1}{0}，\vec{e_y} =\dbinom{0}{1}$という2 つのベクトル（基本ベクトル(fundamental vector) ）をとる．それぞれのベクトルの大きさは$1$ であり，なす角は$90^\circ$ であるから

\[\left|\vec{e_x} \right| = \left|\vec{e_y} \right| = 1 \tag{1}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki1}\] \[\vec{e_x} \cdot \vec{e_y} = 0 \tag{2}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki2}\] \[\qquad \because \left|\vec{e_x} \right| \left|\vec{e_y} \right| \cos 90^\circ = 0\]

が成り立つ．

ここで，$\vec{a}$ は

\begin{align} \vec{a} &=\dbinom{a_x}{a_y}=\dbinom{a_x}{0}+\dbinom{0}{a_y}\\ &=a_x\dbinom{1}{0}+a_y\dbinom{0}{1} \end{align} であるから，$\vec{a}$ を$\vec{e_x}，\vec{e_y}$ に分解すると \[\vec{a} = a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} \tag{3}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki3}\]

となる．

同様にして

\[\vec{b} = b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} \tag{4}\label{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki4}\]

となる．

よって， $\eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki3}， \eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki4}$より

\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y}) \cdot (b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y})\\ &= a_xb_x \left|\vec{e_x} \right|^2+ (a_xb_y + a_yb_x) \vec{e_x} \cdot \vec{e_y} \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad + a_yb_y \left|\vec{e_y} \right|^2\\ &= a_xb_x \left|\vec{e_x} \right|^2+ a_yb_y \left|\vec{e_y} \right|^2\\ &\qquad \because \eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki2}\\ &= a_xb_x + a_yb_y \\ &\qquad \because \eqref{seibunhyouzisaretaheimenbekutorunonaiseki1} \end{align}

となる．

成分表示されたベクトルの内積

$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y\]

となる．

暗記ベクトルを用いた三角形の面積公式

無題

無題

右の図のように，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる三角形の面積を$S$とする．

  1. $S$ を$\left|\vec{a}\right|$ と$\left|\vec{b}\right|$ と$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を用いて表せ．
  2. $\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$であるとき，$S$ を$a_x，a_y，b_x，b_y$ を用いて表せ．
  3. 座標平面上に3 点$\text{A}(2, 1)，\text{B}(7, 2)，\text{C}(4, 5)$ をとる．このとき，$\triangle \text{ABC}$ の面積を求めよ．

    ベクトルを用いた三角形の面積公式の解答の図その１

  1. $\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ とおき， $\left|\vec{a}\right|$ を三角形の底辺とみると，高さは $\left|\vec{b}\right| \sin \theta$ とかけるから，三角形の面積$S$ は

    \begin{align} S &= \dfrac{1}{2}\left|\vec{a}\right| \times \left|\vec{b}\right| \sin \theta \\ &\qquad \blacktriangleleft S = \dfrac{1}{2}(底辺)\times(高さ)\\ &= \dfrac{1}{2}\left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sqrt{1 − \cos^2 \theta}\\ &\qquad \blacktriangleleft \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より\\ &\qquad \sin^2 \theta = 1 −\cos^2 \theta であり，\\ &\qquad 0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ より\\ &\qquad \sin \theta \geqq 0 だから\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - \left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 \cos^2 \theta}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\\ &\qquad \blacktriangleleft 内積の定義 \end{align}

    よって，$\boldsymbol{S =\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}}$と表せる．

  2. $\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき

    \begin{align} \left|\vec{a}\right| &= \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2}\\ \left|\vec{b}\right| &= \sqrt{{b_x}^2 + {b_y}^2}\\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_xb_x + a_yb_y \end{align}

    であるから，$S =\dfrac{1}{2}\sqrt{\left|\vec{a}\right|^2 \left|\vec{b}\right|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$に代入して

    \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\left(({a_x}^2 + {a_y}^2)( {b_x}^2 + {b_y}^2)\right.\\ &\qquad \qquad \qquad \quad \left.- (a_xb_x + a_yb_y)^2\right)^{\frac{1}{2}}\\ &= \dfrac{1}{2}\sqrt{{a_x}^2{b_y}^2+{b_x}^2{a_y}^2-2a_xb_xa_yb_y}\\ &=\dfrac{1}{2}\sqrt{ (a_xb_y - b_xa_y)^2}\\ &=\dfrac{1}{2}\left| a_xb_y - b_xa_y \right| \end{align}

    よって，$\boldsymbol{S =\dfrac{1}{2}\left| a_xb_y - b_xa_y \right|}$と表せる．

  3. \begin{align} \overrightarrow{\text{AB}} &=\overrightarrow{\text{OB}} −\overrightarrow{\text{OA}} \\ &=\dbinom{7}{2}−\dbinom{2}{1}=\dbinom{5}{1}，\\ \overrightarrow{\text{AC}} &=\overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OA}} \\ &=\dbinom{4}{5}−\dbinom{2}{1}=\dbinom{2}{4} \end{align}

    より，$\triangle \text{ABC}$ の面積$S’$は

    \[S’= \dfrac{1}{2}\left|5 \cdot 4 − 1 \cdot 2\right| = \boldsymbol{9}\]

ベクトルを用いた三角形の面積公式

$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$のとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ で張られる三角形の面積$S$ は

\[S = \dfrac{1}{2}\left|a_xb_y – b_xa_y\right|\]