ベクトルの垂直条件

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角が$90^\circ$ とき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は垂直(perpendicular) であるといい，$\boldsymbol{\vec{a}\perp\vec{b}}$ と表す．また，$\vec{0}$ はすべてのベクトルに対し垂直と定める．

このとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の内積は，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right| \cos 90^\circ= 0$ となる．逆に，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ならば$\vec{a}\perp\vec{b}$ といえる．つまり

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}$と$\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$が垂直であるとき

\[\dbinom{a_x}{a_y}\cdot\dbinom{b_x}{b_y}= 0 \Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y = 0\]

が成り立つ．

ベクトルの垂直条件

$\vec{a} \neq \vec{0}，\vec{b} \neq \vec{0}$ であり，$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$とする．

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \] \[\Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y = 0\]

外心の位置ベクトル

$\text{AB} = 3，\text{BC} = 7，\text{CA} = 5$ である$\triangle \text{ABC}$ がある．$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}，\triangle \text{ABC}$ の外心を$\text{O}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

$\vec{b} \cdot \vec{c}$ を求めよ．
$\overrightarrow{\text{AO}}$ を$\vec{b}$ と$\vec{c}$ をもちいて表せ．

外心の位置ベクトルの解答

$\triangle \text{ABC}$ に$\angle \text{A}$ からみる余弦定理を使うと
$\blacktriangleleft \text{BC}^2 = \text{AB}^2+ \text{AC}^2−2\cdot \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta$ \begin{align} \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta &= \dfrac{\text{AB}^2+ \text{AC}^2− \text{BC}^2}{2}\\ &= \dfrac{9 + 25 – 49}{2} =\dfrac{−15}{2} \end{align}
であるから
\[\vec{b} \cdot \vec{c} = \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta = \boldsymbol{\dfrac{−15}{2}}\]
$\overrightarrow{\text{AO}} = x\vec{b} + y\vec{c}$ とおく．
まず，$\overrightarrow{\text{DO}}$ と$\overrightarrow{\text{AB}}$ は直交するから
\begin{align} & \overrightarrow{\text{DO}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AO}} − \overrightarrow{\text{AD}}\right)\cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \dfrac{1}{2}\vec{b}\right)\cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x − \dfrac{1}{2}\right) \left|\vec{b}\right|^2+ y\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 9\left(x − \dfrac{1}{2}\right)+ y\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 9\left(x − \dfrac{1}{2}\right)− \dfrac{15}{2}y = 0 \tag{1}\label{gaishinnoitibekutoru1} \end{align}
また，$\overrightarrow{\text{EO}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ は直交するから
\begin{align} & \overrightarrow{\text{EO}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AO}} − \overrightarrow{\text{AE}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \dfrac{1}{2}\vec{c}\right)\cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow x\vec{b} \cdot \vec{c} +\left(y − \dfrac{1}{2}\right)\left|\vec{c}\right|^2= 0\\ &\Leftrightarrow x\vec{b} \cdot \vec{c} + 25\left(y − \dfrac{1}{2}\right)= 0\\ &\Leftrightarrow − \dfrac{15}{2}x + 25\left(y − \dfrac{1}{2}\right)= 0 \tag{2}\label{gaishinnoitibekutoru2} \end{align}
式$\eqref{gaishinnoitibekutoru1}，\eqref{gaishinnoitibekutoru2}$を連立して
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 6x − 5y = 3\\ −3x + 10y = 5\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{11}{9}\\ y = \dfrac{13}{15}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}
よって，$\overrightarrow{\text{AO}} \boldsymbol{=\dfrac{11}{9}\vec{b} + \dfrac{13}{15}\vec{c}}$．

垂心の位置ベクトル

$\text{AB} = 5，\text{BC} = 6，\text{CA} = 4$ である$\triangle \text{ABC}$ がある．$\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c}，\triangle \text{ABC}$ の垂心を$\text{H}$ とするとき，以下の問いに答えよ．

$\vec{b} \cdot \vec{c}$ を求めよ．
$\overrightarrow{\text{AH}}$ を$\vec{b}$ と$\vec{c}$ をもちいて表せ．

垂心の位置ベクトルの解答

【解答1：直交条件を使う】

$\triangle \text{ABC}$ に$\angle \text{A}$ からにらむ余弦定理を使うと
$\blacktriangleleft \text{BC}^2 = \text{AB}^2+ \text{AC}^2−2\cdot \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta$ \begin{align} \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta &= \dfrac{\text{AB}^2+ \text{AC}^2− \text{BC}^2}{2}\\ &= \dfrac{25 + 16 – 36}{2} =\dfrac{5}{2} \end{align}
であるから，$\vec{b} \cdot \vec{c} = \text{AB}\cdot \text{AC}\cdot\cos \theta = \boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$
$\overrightarrow{\text{AH}} = x\vec{b} + y\vec{c}$ とおく．
まず，$\overrightarrow{\text{CH}}$ と$\overrightarrow{\text{AB}}$ は直交するから
\begin{align} & \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AH}} − \overrightarrow{\text{AC}}\right)\cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \vec{c}\right)\cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow x\left|\vec{b}\right|^2+ (y-1)\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow 25x+ (y-1)\dfrac{5}{2} = 0\\ &\Leftrightarrow 10x+y = 1 \tag{1}\label{juushinnoitibekutoru1} \end{align}
また，$\overrightarrow{\text{BH}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ は直交するから
\begin{align} & \overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{\text{AH}} − \overrightarrow{\text{AB}}\right) \cdot \overrightarrow{\text{AC}} = 0\\ &\Leftrightarrow \left(x\vec{b} + y\vec{c} − \vec{b}\right)\cdot \vec{c} = 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)\vec{b} \cdot \vec{c} +y\left|\vec{c}\right|^2= 0\\ &\Leftrightarrow (x-1)\dfrac{5}{2} + 16y= 0\\ &\Leftrightarrow 5x+32y= 5 \tag{2}\label{juushinnoitibekutoru2} \end{align}
式$\eqref{juushinnoitibekutoru1}，\eqref{juushinnoitibekutoru2}$を連立して
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 10x + y = 1\\ 5x + 32y = 5\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \dfrac{3}{35}\\ y = \dfrac{1}{7}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}
よって，$\overrightarrow{\text{AH}} \boldsymbol{=\dfrac{3}{35}\vec{b} + \dfrac{1}{7}\vec{c}}$．

【解答2：正射影ベクトル＆一次独立を使う】

（【解答1】と同じ）
ベクトルの正射影を考え
\[\overrightarrow{\text{AD}} =\dfrac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{\left|\vec{b}\right|^2}\vec{b} =\dfrac{\dfrac{5}{2}}{25}\vec{b} = \dfrac{1}{10}\vec{b} \tag{1}\label{juushinnoitibekutorukaitou21}\]
同様にして
\[\overrightarrow{\text{AE}} = \dfrac{5}{32}\vec{c} \tag{2}\label{juushinnoitibekutorukaitou22}\]
である．
まず，点$\text{H}$ は線分$\text{BE}$ 上にあるから，$\text{BH} : \text{HE} = s :1 – s$ とおくと
\begin{align} \overrightarrow{\text{AH}} &= (1 − s)\overrightarrow{\text{AB}} + s\overrightarrow{\text{AE}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} &= (1 − s)\vec{b} + \dfrac{5s}{32}\vec{c} \tag{3}\label{juushinnoitibekutorukaitou23} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{juushinnoitibekutorukaitou22}$より
また，点$\text{H}$ は線分$\text{CD}$ 上にあるから，$\text{CH} : \text{HD} = t :1 – t$ とおくと
\begin{align} \overrightarrow{\text{AH}} &= t\overrightarrow{\text{AD}} + (1 − t)\overrightarrow{\text{AC}}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} &= \dfrac{t}{10}\vec{b} + (1 − t)\vec{c} \tag{4}\label{juushinnoitibekutorukaitou24} \end{align} $\blacktriangleleft\eqref{juushinnoitibekutorukaitou21}$より
いま，$\vec{b}$ と$\vec{c}$ は1 次独立であるから， $\eqref{juushinnoitibekutorukaitou23}， \eqref{juushinnoitibekutorukaitou24}$ より
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} 1 − s = \dfrac{t}{10}\\ \dfrac{5s}{32} = 1 – t\\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} 10s + t = 10\\ 5s + 32t = 32\\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} s =\dfrac{32}{35}\\ t = \dfrac{6}{7}\\ \end{array} \right. \end{align}
よって，$\overrightarrow{\text{AH}} \boldsymbol{=\dfrac{3}{35}\vec{b} + \dfrac{1}{7}\vec{c}}$．