成分表示された空間ベクトルの大きさ

空間ベクトル$\overrightarrow{\text{OP}} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ の大きさは，線分$\text{OP}$の長さである．いま，この線分の長さを求めてみよう．

点$\text{P}$ から，$xy$ 平面に下ろした垂線の足を$\text{H}$とすると，$\text{H}$の座標は$(x, y, 0)$であるから，三平方の定理より

\[\text{OH}^2 = x^2 + y^2\]

である．また，$\triangle \text{POH}$ は$\text{H}$ を直角とする直角三角形であるから，再び三平方の定理より

\[\text{OP}^2 = \text{OH}^2 + \text{PH}^2 = x^2 + y^2 + z^2\]

となり

\[\text{OP} =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\]

と計算できる．

これより，2 点，$\text{A}(a_x, a_y, a_z)，\text{B}(b_x, b_y, b_z)$ 間の距離は， $\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} b_x − a_x\\ b_y − a_y\\ b_z − a_z\\ \end{array} \right)$ を用いて

\begin{align} &\text{AB} =\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|\\ &=\sqrt{(b_x − a_x)^2 + (b_y − a_y)^2 + (b_z − a_z)^2} \end{align}

と計算できる．