ベクトルの正射影と有向距離(空間)

ベクトルの正射影と有向距離の図その1

平面ベクトルの場合と同じように,空間ベクトルでもベクトルの正射影と有向距離を定義する.

$\vec{0}$ でない2 つの空間ベクトル,$\vec{a},\vec{b}$ に対して,点$\text{O}$ を始点として

\[\vec{a} =\overrightarrow{\text{OA}} , \vec{b} =\overrightarrow{\text{OB}}\]

となるように点$\text{A},\text{B}$ をとる.

いま,右図の点$\text{B}$ からから直線$\text{OA}$ に下ろした垂線の足を$\text{H}$ とする.このとき,$\overrightarrow{\text{OH}}$を$\vec{b}$ の$\vec{a}$ への正射影ベクトルといい$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ と表す.正射影ベクトル$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ は,$\vec{a},\vec{b}$ とそのなす角$\theta$ を用いて次のように表すことができる.

  1. $\boldsymbol{0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ}$ のとき

    ベクトルの正射影と有向距離の図その2
    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &= \dfrac{\text{OB}\cos \theta}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}
  2. $\boldsymbol{90^\circ < \theta \leqq 180^\circ}$ のとき

    ベクトルの正射影と有向距離の図その3
    \begin{align} _{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} &= − \dfrac{\text{OH}}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &= − \dfrac{\text{OB}\cos(180^\circ − \theta)}{\text{OA}}\overrightarrow{\text{OA}}\\ &=\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a} \end{align}

つまり,$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ で$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a} =\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}$と表せる.この$\left|\vec{b}\right| \cos \theta$ の値のことを,$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$の有向距離または符号付長さという.

なお,$_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}$ の大きさは

\begin{align} \left|_{\vec{b}\rightarrow}\vec{a}\right| &= \left|\dfrac{\left|\vec{b}\right| \cos \theta}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}\right|\\ &=\dfrac{\left|\vec{b} \cos \theta \right|}{\left|\vec{a}\right|}\left|\vec{a}\right|\\ &=\left|\vec{b} \cos \theta \right| \end{align}

で表される.