数学B 第7章空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの内積

空間ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義（空間）

まず平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでもベクトルのなす角を定義する。

離れた位置にある2つのベクトルaとベクトルbがある。右下にあるベクトルaは緩やかに右斜め上を向き、左上にあるベクトルbは急な角度で右上を向いている。 $0$ でない2つの空間ベクトル、 $a$ 、 $b$ に対して、点 $O$ を始点として $a=OA , b=OB$ となるように点 $A$ 、 $B$ をとる。このとき、 $∠AOB$ の大きさ $θ$ は、 $a$ 、 $b$ によって決まる。この $θ$ を、 $a$ と $b$ のなす角とする。

点Oを始点として、点Aに向かうベクトルaと、点Bに向かうベクトルbが描かれている。2つのベクトルの間の角に弧が付けられ、記号θが添えられている。始点を共有する2つのベクトルのなす角θについて、同じ向きでθ=0°、鋭角、鈍角、反対向きでθ=180°となる4つの状態が横に並べて示されている。

なす角の取り得る範囲は、平面ベクトルの場合と同様に $0°≦θ≦180°$ となる。

ベクトルの正射影と有向距離（空間）

点Oを始点とするベクトルaとベクトルbのなす角がθで表されている。点Bからベクトルaへ下ろした垂線の足がHとされ、点Oから点Hへの矢印と垂線BHの位置に直角記号が描かれている。

平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでもベクトルの正射影と有向距離を定義する。

$0$ でない2 つの空間ベクトル、 $a, b$ に対して、点 $O$ を始点として

$a =OA , b =OB$

となるように点 $A, B$ をとる。

いま、上の図の点 $B$ からから直線 $OA$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。このとき、 $OH$ を $b$ の $a$ への正射影ベクトルといい $b\toa$ と表す。正射影ベクトル $b\toa$ は、 $a, b$ とそのなす角 $θ$ を用いて次のように表すことができる。

$0° ≦ θ ≦ 90°$ のとき

$b\toa = (OH/OA)OA = ((OBcos θ)/OA)OA =((|b| cos θ)/|a|)a$
$90° < θ ≦ 180°$ のとき

$b\toa = - (OH/OA)OA = - (OBcos(180° - θ)/OA)OA =((|b| cos θ)/|a|)a ∵cos(180° - θ) = -cos θ$

つまり、 $0° ≦ θ ≦ 180°$ で $b\toa =((|b| cos θ)/|a|)a$ と表せる。この $|b| cos θ$ の値のことを、 $b\toa$ の有向距離または符号付長さという。

なお、 $b\toa$ の大きさは

$|b\toa| = |((|b| cos θ)/|a|)a| =(||b| cos θ |)/|a||a| =||b| cos θ |$

で表される。

ベクトルの内積（空間）

ベクトルの内積の定義（空間）

平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでもベクトルの内積を定義する。

任意の2 つの空間ベクトル、 $a, b$ に対して内積という演算 $a ・ b$ を次のように定義する。

$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ のとき

「 $a$ の大きさに、 $b\toa$ の有向距離をかけたもの」、すなわち

$a ・ b = |a| \times |b| cos θ$

とする。ここで、 $θ$ は $a$ と $b$ のなす角である。
$a = 0$ または $b = 0$ のとき

$a ・ b = 0$

とする。

空間の正射影ベクトルの内積での表し方

平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでも同様な形で、正射影ベクトルを内積で表すことができる。

同じ始点から伸びるベクトルaとベクトルbがあり、そのなす角はθである。ベクトルbの終点からベクトルaへ下ろした垂線の足と始点を結ぶ太い矢印が、正射影ベクトルとして描かれている。

$b$ の $a$ への正射影ベクトル $b\toa$ は

$分母分子にをかけた b\toa = ((|b| cos θ)/|a|)a =((|a||b| cos θ)/|a|²)a ∵分母分子に|a| をかけた =((a ・ b)/|a|²)a ∵a ・ b = |a||b| cos θ$

と表すことができる。

内積の計算法則（空間）

平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルの内積でも、次のような計算法則が成り立つ。

定理1内積に関する計算法則

交換法則 $a ・ b = b ・ a$
結合法則 $a ・ (kb) = k(a ・ b)$
分配法則 $a ・ (b +c) = a ・ b + a ・ c$
$a ・ a ≧ 0$

【証明】は平面の時の内積に関する計算法則と同様。

成分表示された空間ベクトルの内積

成分表示された2 つの空間ベクトル、 $a = ( ax ay az ), b = ( bx by bz )$ の内積について考えてみよう。

まず、 $ex = ( 1 0 0 ), ey = ( 0 1 0 ), ez = ( 0 0 1 )$ について、それぞれのベクトルの大きさは $1$ であり、どの2 つのベクトルのなす角も $90°$ であるから

$|ex|=|ey|=|ez|= 1 ① ex ・ ey = 0 , ey ・ ez = 0 , ez ・ ex = 0 ②$

が成り立つ。

ここで、 $a$ は

$a = ( arrayc ax ay az array ) = ( arrayc ax 0 0 array ) + ( arrayc 0 ay 0 array ) + ( arrayc 0 0 az array ) = ax ( arrayc 1 0 0 array ) + ay ( arrayc 0 1 0 array ) + az ( arrayc 0 0 1 array )$

であるから、 $a$ を $ex, ey, ez$ に分解すると

$a = ax ex + ay ey + az ez ③$

となる。

同様にして

$b = bx ex + by ey + bz ez ④$

となる。

よって、 $③, ④$ より

$a ・ b = (ax ex + ay ey + az ez) ・ (bx ex + by ey + bz ez) = axbx |ex|² + ayby |ey|² + azbz |ez|² ∵② = axbx + ayby + azbz ∵①$ となる。

問題1空間ベクトルの内積

次の2 つのベクトルの内積の値とそのなす角 $θ (0° ≦ θ ≦ 180°)$ を求めよ。

$(-1, - 2, 1), (1, - 1, 2)$
$(1, 0, - 1), (1, 2, - 2)$

解答を見る

$a ・ b = -1 ・ 1 - 2 ・ (-1) + 1 ・ 2 = 3$

$cos θ =(a ・ b)/|a||b|$ であるので、

$cos θ = 3/( \sqrt((-1)² + (-2)² + 1²) \sqrt(1² + (-1)² + 2²) ) =3/( \sqrt6\sqrt6 )=1/2$

$0° ≦ θ ≦ 180°$ より、 $θ = 60°$
$a ・ b = 1 ・ 1 + 0 ・ 2 - 1 ・ (-2) =3$

$cos θ =(a ・ b)/|a||b|$ であるので、

$cos θ = 3/( \sqrt(1² + 0² + (-1)²) \sqrt(1² + 2² + (-2)²) ) =3/( \sqrt2\sqrt9 )=1/\sqrt2$

$0° ≦ θ ≦ 180°$ より、 $θ = 45°$

空間ベクトルの垂直条件

平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでもベクトルの垂直を定義する。

$0$ でない2 つのベクトル、 $a$ と $b$ のなす角が $90°$ とき、 $a$ と $b$ は垂直であるといい、 $a⊥b$ と表す。また、 $0$ はすべてのベクトルに対し垂直と定める。

このとき、 $a$ と $b$ の内積は、 $a ・ b = |a||b| cos 90°= 0$ となる。逆に、 $a ・ b = 0$ ならば $a⊥b$ といえる。つまり

$a⊥b \Leftrightarrowa ・ b = 0$

である。

また、成分表示された2 つのベクトル、 $a = ( ax ay az )$ と $b = ( bx by bz )$ が垂直であるとき

$( ax ay az ) ・ ( bx by bz ) = 0 \Leftrightarrow axbx + ayby + azbz = 0$ が成り立つ。

問題2空間ベクトルの垂直条件

正四面体 $O-ABC$ で、 $OA⊥BC$ であることを証明せよ。

頂点をOとし、底面を三角形ABCとする正四面体O-ABCが描かれている。頂点Oが一番上にあり、底面の頂点Aが左下、頂点Bが手前下、頂点Cが右側に位置している。

解答を見る

正四面体であるので

$OA ・ OB =OB ・OC=OC ・OA$

より

$OA ・ BC =OA ・ (OC -OB) =OA ・ OC -OA ・ OB = 0$

以上から、 $OA⊥BC$ であることが示せた。

問題3空間ベクトルの内積と垂直条件

1 辺の長さ2 の正四面体 $ABCD$ がある。 $AB$ の中点を $M, CD$ の中点を $N$ とする。 $DA = a, DB = b, DC = c$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

$a ・ b$ の値を求めよ。
$MN$ を $a, b, c$ で表せ。
$MN⊥AB$ であることを証明せよ。
$|a + b +c|$ を求めよ。
$DM$ と $DC$ のなす角の余弦を求めよ。

四面体ABCDにおいて、ベクトルaはベクトルDA、ベクトルbはベクトルDB、ベクトルcはベクトルDCを表している。また、辺AB上に点M、辺CD上に点Nがある。

解答を見る

$a ・ b = 2 ・ 2 ・ cos 60°= 2$
$MN =DN -DM = (1/2)c - 1/2 (a + b) =1/2 (-a - b + c)$
$AB = b - a$ であるので

$MN ・ AB =1/2(-a - b +c) ・ (b - a) = 1/2(-a ・ b + |a|² - |b|² . .+ a ・ b + b ・ c - a ・ c)$

ここで、1. と $ABCD$ が正四面体であることから、 $a ・ b = b ・ c = c ・ a = 2$ であるので

$MN ・ AB = 1/2 (-2 + 4 - 4 + 2 + 2 - 2) = 0$

したがって、 $MN⊥AB$ である。
$|a + b +c|² = |a|² + |b|² + |c|² + 2( a ・ b + b ・ c +c ・ a ) = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24$

したがって、 $|a + b +c| = 2\sqrt6$ である。
$△DAB$ は正三角形であり、 $M$ が $AB$ の中点であることから

$|DM| =|AD| sin 60°=\sqrt3$

となり、また

$DM ・ DC = 1/2 (a + b) ・ c =1/2(a ・ c + b ・ c)= 2$

である。したがって、 $DM$ と $DC$ のなす角を $θ$ とすると

$cos θ =(DM ・ DC)/( |DM|・ |DC|) = 2/(2 ・ \sqrt3)=1/\sqrt3$

最終更新: 2026-09-03

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数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの内積

空間ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義（空間）

ベクトルの正射影と有向距離（空間）

ベクトルの内積（空間）

ベクトルの内積の定義（空間）

空間の正射影ベクトルの内積での表し方

内積の計算法則（空間）

定理1内積に関する計算法則

成分表示された空間ベクトルの内積

問題1空間ベクトルの内積

空間ベクトルの垂直条件

問題2空間ベクトルの垂直条件

問題3空間ベクトルの内積と垂直条件

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