直線の通る2点が与えられたとき（空間）

無題

無題

空間内の異なる2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ を通る直線を$l$ とする．このとき，$l$ は点$\text{A}(\vec{a})$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} = \overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}$ の直線であるから，$l$ 上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式は，「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)より

\begin{align} &\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} − \vec{a})\\ \Leftrightarrow &\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b} \tag{2}\label{chokusennotooru2tengaataeraretatoki2} \end{align}

となる．

この式を利用して，座標空間内の2 点が与えられたときの直線の方程式を求めてみ よう．

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{array} \right)$ とし，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とすると，$\eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki2}$より

\begin{align} &\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\\ \Longleftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) = (1 − t) \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} x = (1 − t)x_0 + tx_1\\ y = (1 − t)y_0 + ty_1\\ z = (1 − t)z_0 + ty_1\\ \end{array} \right.\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} x − x_0 = t(x_1 − x_0)\\ y − y_0 = t(y_1 − y_0)\\ z − z_0 = t(z1 − z_0)\\ \end{array} \right.\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} t =\dfrac{x − x_0}{x_1 − x_0}\\ t =\dfrac{y − y_0}{y_1 − y_0}\\ t =\dfrac{z − z_0}{z_1 − z_0}\\ \end{array} \right. \end{align}

これより，$t$ を消去して

\[ (t =)\dfrac{x − x_0}{x_1 − x_0}=\dfrac{y − y_0}{y_1 − y_0}=\dfrac{z − z_0}{z_1 − z_0}\]

を得る．

この式は，直線の通る1 点$\text{A}(\vec{a})$ を$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，方向ベクトル$\vec{d}$ を$\vec{d} = \vec{b} − \vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 − x_0\\ y_1 − y_0\\ z_1 − z_0\\ \end{array} \right)$

として，「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)を用いた結果に他ならない．

2 直線の距離

空間内に2 直線

\begin{align} l &:\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{\text{OA}} + t\vec{d}_l\\ m &:\overrightarrow{\text{OQ}} =\overrightarrow{\text{OB}} + s\vec{d}_m \end{align}

がねじれの位置にあるとする（$s，t$ は任意の実数をとる）．

  1. 直線$l$ と$m$ の距離$d$ を，$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\vec{d}_l \times \vec{d}_m$ を用いて表せ．
  2. 点$\text{A}(5, 3, − 2)$，$\vec{d}_l = \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ −1\\ \end{array} \right)$ ，点$\text{B}(2, − 1: 6)$， $\vec{d}_m = \left( \begin{array}{c} 1\\ −1\\ −5\\ \end{array} \right)$ とするとき直線$l$ と$m$の距離を求めよ．

  1. $\overrightarrow{\text{AB}}$ を$\vec{d}_l \times \vec{d}_m$ に正射影したベクトル$_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m)$ は\[_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) = \dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m)}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|^2} \vec{d}_l \times \vec{d}_m\] $\blacktriangleleft$空間の正射影ベクトルの内積での表し方

    であり， $\left|_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|$ が$d$ であるから

    \begin{align} &\left|_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|\\ & \\ =&\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|^2}\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|\\ =&\boldsymbol{\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|} } \end{align}

  2. \[\overrightarrow{\text{AB}} =\overrightarrow{\text{OB}}−\overrightarrow{\text{OA}}\] \[ = \left( \begin{array}{c} 2\\ −1\\ 6\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} 5\\ 3\\ −2\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} −3\\ −4\\ 8\\ \end{array} \right)\] であり，$\vec{d}_l\times \vec{d}_m = \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ −1\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1\\ −1\\ −5\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right)$ であるから

    $\blacktriangleleft$外積の成分表示 \begin{align} d &=\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|}\\ &=\dfrac{\left|\left( \begin{array}{c} −3\\ −4\\ 8\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right) \right|} {\left|\left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right) \right|}\\ &=\dfrac{\left| (−3) \cdot (−6) + (−4) \cdot 9 + 8 \cdot (−3) \right|} {\sqrt{(−6)^2 + 9^2 + (−3)^2}}\\ &= \dfrac{42}{3\sqrt{14}}=\boldsymbol{\sqrt{14}} \end{align}