補集合での考え方

補集合の利用

1，2，3，4，5，6の数字が書いてあるさいころを1回振り，さらに1，2，3，4の数字が書いてある4枚のカードから1枚引くとする．

2つの数字の和が4の倍数とは"ならない"のは何通りか．

積の法則・和の法則の利用の例題(1)で求めた全体24通りのうち，「2つの数字の和が4の倍数となる」のは(2)より，6通りである．

よって，「2つの数字の和が4の倍数とは

ならない

」のは

$24-6=\boldsymbol{18}$ 通り．

《補足》このことを，集合で表現すると以下のようになる．

全体集合 $U$ を $U=A\times{B}$ とおくと，求める場合の数は $n(\overline{P\cup{Q}})$ であるから

\begin{align} n(\overline{P\cup{Q}}) &= n(U)-n(P\cup{Q})\\ &= 24-6=\boldsymbol{18}通り \end{align}

この問題は，補集合の考え方を使わなくても，例えば和の法則で次のように解くこともできる．

$A_1$ ：「カードの数字が1の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

$A_2$ ：「カードの数字が2の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

$A_3$ ：「カードの数字が3の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

$A_4$ ：「カードの数字が4の場合で2つの数字の和が4の倍数になる」

とおくと，どの2つの事柄も同時におこることがないので

$5+4+4+5=\boldsymbol{18}$ 通り

となるが，補集合を考えたときに比べてかなり面倒である．

そこで，次のような原則を引き出すことができるだろう．

全体集合 $U$ に対して， $n(X)$ を数えるよりも $n(\overline{X})$ を数えるほうが数えやすいとき

\[n(X)=n(U)-n(\overline{X})\]

として， $n(X)$ を計算するとよい．