余事象の確率

説明文

説明文

補集合の要素の個数より

\[n(\overline{A})=n(U)-n(A)\]

が成り立つ.この両辺を, $n(U)$ で割ると

\[\frac{n(\overline{A})}{n(U)}=1-\frac{n(A)}{n(U)}\] \[\therefore P(\overline{A})=1-P(A)\]

が成り立つ.

余事象の確率

事象 $A$ と,その余事象 $\overline{A}$ において

\[P(\overline{A})=1-P(A)\]

が成り立つ.

吹き出し無題

このことは,ある事象 $A$ の確率を求めるのが大変な場合, むしろ $A$ の余事象 $\overline{A}$ の要素の個数に着目すべきである, ということを教えてくれる.

余事象

3つのさいころを同時に振るとき,少なくとも1つのさいころで3の倍数の目が出る確率を求めよ.

事象 $A$ を

$A$ :「3つのさいころで3の倍数の目が出ない」

とおくと,求める確率は $P(\overline{A})$ である.

3つのさいころの目の重複順列 $_{6}\Pi_{3}=6^3=216$ 通りは,どれも同様に確からしい.

このうち,3の倍数の目がまったく出ないのは(3の倍数でない目が1,2,4,5と4つあるので)

$_{4}\Pi_{3}=4^3=64$ 通り

よって,3の倍数の目が出ない確率 $P(A)$ は

\[P(A)=\frac{64}{216}=\frac{8}{27}\]

求める確率は $P(\overline{A})$ なので

\[P(\overline{A})=1-P(A)=1-\frac{8}{27}=\boldsymbol{\frac{19}{27}}\]

となる.