漸化式とは何か

この数列では， $n$ 日目( $n$ は自然数とする)に貯金する金額を $a_n$ で表すと

$$a_{n+1}=a_n+2$$

という関係が常に成り立つ(ここで， $a_1$ は初日の金額を表すので， $a_1=1$ である)．

実際，この式の $n$ に $1$ や $2$ を代入してみると

$$\begin{align} a_2&=a_1+2\\ a_3&=a_2+2 \end{align}$$

となり， $a_1=1$ だから， $a_2=1+2=3$ として確かに2日目の貯金額が導かれる．また， $a_2=3$ だから， $a_3=3+2=5$ として3日目の貯金額が導かれる．

この $a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)$ のように，ある項 $(a_n)$ と別のある項 $(a_{n+1})$ との間に成り立つ関係式のことを，漸化式ぜんかしき(recurrence formula)という．

以上をまとめると，この数列は漸化式を用いて次のように表すことが出来る．

$$a_1=1,a_{n+1}=a_n+2\ (n=1,2,3,\cdots)$$