等比数列の一般項

この等比数列の第 $n$ 項つまり一般項 $a_n$ は

「初項から第 $n$ 項までには $r$ を $n-1$ 個かける」

と考えて

$a_n=ar^{n-1}$

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 $(1)$ から一般項 $a_n$ を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式 $(1)$ の $n$ に $1,2,3,\cdots,n-2,n-1$ を代入し，得られる式を縦に並べておく．

$\begin{align} a_2&=a_1r\\ a_3&=a_2r\\ &\vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\ a_n&=a_{n-1}r\\ \end{align}$

STEP2

すべての式の辺々を掛け合わせると， $a_2,a_3,\cdots,a_{n-1}$ が打ち消される．

$\begin{align} a_2&=a_1r\\ a_3&=a_2r\\ \vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\ a_n&=a_{n-1}r\\\hline a_n&=a_1r^{n-1} \end{align}$

よって， $a_1=a$ に注意して，次式を得る．

$a_n=ar^{n-1}$

等比数列の漸化式と一般項

初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列の漸化式は

$\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_nr\quad(n=1,2,3,\cdots) \end{cases}$

初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列の一般項 $a_n$ は

$a_n=ar^{n-1}\quad(n=1,2,3,\cdots)$

等比数列の一般項～その１～

次の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．また，第10項を求めよ．

$2,6,18,54,162,\cdots$
$81,-27,9,-3,1,\cdots$

等比数列の一般項～その１～の解答

初項が2，公比が3の等比数列であり，第 $n$ 項(一般項)は初項 $a_1$ に公比 $r$ を $n-1$ 回かけることによって求められるので

$a_n=\boldsymbol{2\cdot3^{n-1}}$

また，第10項は $a_{10}=2\cdot3^9=\boldsymbol{39366}$ である．

初項が81，公比が $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列だから

$a_n=\boldsymbol{81\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}}$

また，第10項は $a_{10}=81\left(-\dfrac{1}{3}\right)^9=\boldsymbol{-\dfrac{1}{243}}$ である．

等比数列の一般項～その２～

次の条件を満たす等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．

初項が $2$ ，第４項が $-54$
第３項が $\dfrac{3}{4}$ ，第７項が $\dfrac{3}{64}$

等比数列の一般項～その２～の解答

等比数列は公比が一定であるので，条件からまず公比を求めよう．初項から第4項までは，公比が(4-1=)3回掛けられるので，公比を $r$ とすると

$\begin{align} &a_1r^3=a_4\\ \Leftrightarrow\ &r^3=\frac{a_4}{a_1}=\frac{-54}{2}=-27\\ \therefore\ &r=-3 \end{align}$

よって， $a_n=\boldsymbol{2(-3)^{n-1}}$ となる．

【別解】

等比数列の一般項は $a_n=a_1r^{n-1}$ として与えられるので，問題の条件から $a_1$ と $r$ の連立方程式を立てることができる．初項を $a$ ，公比を $r$ とすると

$\begin{align} a_1&=a=2\\ a_4&=ar^3=-54 \end{align}$

となる．これらを連立させて解くと

$a=2,r=-3$

よって， $a_n=\boldsymbol{2(-3)^{n-1}}$ となる．

第3項から第7項までは，公比が(7-3=)4回かけられるので，公比を $r$ とすると

$\begin{align} &a_3r^4=a_7\\ \Leftrightarrow\ &r^4=\frac{a_7}{a_3}=\frac{3}{64}\div\frac{3}{4}=\frac{1}{16}\\ \therefore\ &r=\pm\frac{1}{2} \end{align}$

第3項から第 $n$ 項までは，公比の $n-3$ 乗がかかるので，

$\begin{align} a_n&=a_3r^{n-3}\\ &=\frac{3}{4}\left(\pm\frac{1}{2}\right)^{n-3}\\ &=\boldsymbol{3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1},3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}} \end{align}$

【別解】

初項を $a$ ，公比を $r$ とすると

第3項が $\dfrac{3}{4}$ であるから $ar^2=\dfrac{3}{4}$

第7項が $\dfrac{3}{64}$ であるから $ar^6=\dfrac{3}{64}$

となる．これらを連立させて解くと

$a=3,r=\pm\frac{1}{2}$

よって， $a_n=\boldsymbol{3\left(\pm\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}$ となる．