等比数列の一般項
この等比数列の第 $n$ 項つまり一般項 $a_n$ は
「初項から第 $n$ 項までには $r$ を $n-1$ 個かける」
と考えて
\[a_n=ar^{n-1}\]となるのはすぐにわかるだろう．
また，漸化式 $(1)$ から一般項 $a_n$ を求める方法もみておこう．
STEP1
漸化式 $(1)$ の $n$ に $1,2,3,\cdots,n-2,n-1$ を代入し，得られる式を縦に並べておく．
\begin{align} a_2&=a_1r\\ a_3&=a_2r\\ &\vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\ a_n&=a_{n-1}r\\ \end{align}STEP2
すべての式の辺々を掛け合わせると， $a_2,a_3,\cdots,a_{n-1}$ が打ち消される．
\begin{align} a_2&=a_1r\\ a_3&=a_2r\\ \vdots\\ a_{n-1}&=a_{n-2}r\\ a_n&=a_{n-1}r\\\hline a_n&=a_1r^{n-1} \end{align}よって， $a_1=a$ に注意して，次式を得る．
\[a_n=ar^{n-1}\]等比数列の漸化式と一般項
初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列の漸化式は
\begin{cases} a_1=a\\ a_{n+1}=a_nr\quad(n=1,2,3,\cdots) \end{cases}初項 $a$ ，公比 $r$ の等比数列の一般項 $a_n$ は
\[a_n=ar^{n-1}\quad(n=1,2,3,\cdots)\]等比数列の一般項～その１～
次の等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．また，第10項を求めよ．
- $2,6,18,54,162,\cdots$
- $81,-27,9,-3,1,\cdots$
- 初項が2，公比が3の等比数列であり，第 $n$ 項(一般項)は初項 $a_1$ に公比 $r$ を $n-1$ 回かけることによって求められるので
- 初項が81，公比が $-\dfrac{1}{3}$ の等比数列だから
\[a_n=\boldsymbol{2\cdot3^{n-1}}\]
また，第10項は $a_{10}=2\cdot3^9=\boldsymbol{39366}$ である．
\[a_n=\boldsymbol{81\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}}\]
また，第10項は $a_{10}=81\left(-\dfrac{1}{3}\right)^9=\boldsymbol{-\dfrac{1}{243}}$ である．
等比数列の一般項～その２～
次の条件を満たす等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
- 初項が $2$ ，第４項が $-54$
- 第３項が $\dfrac{3}{4}$ ，第７項が $\dfrac{3}{64}$
- 等比数列は公比が一定であるので，条件からまず公比を求めよう．初項から第4項までは，公比が(4-1=)3回掛けられるので，公比を $r$ とすると
- 第3項から第7項までは，公比が(7-3=)4回かけられるので，公比を $r$ とすると \begin{align} &a_3r^4=a_7\\ \Leftrightarrow\ &r^4=\frac{a_7}{a_3}=\frac{3}{64}\div\frac{3}{4}=\frac{1}{16}\\ \therefore\ &r=\pm\frac{1}{2} \end{align}
\begin{align}
&a_1r^3=a_4\\
\Leftrightarrow\ &r^3=\frac{a_4}{a_1}=\frac{-54}{2}=-27\\
\therefore\ &r=-3
\end{align}
よって， $a_n=\boldsymbol{2(-3)^{n-1}}$ となる．
【別解】
等比数列の一般項は $a_n=a_1r^{n-1}$ として与えられるので，問題の条件から $a_1$ と $r$ の連立方程式を立てることができる．初項を $a$ ，公比を $r$ とすると
\begin{align} a_1&=a=2\\ a_4&=ar^3=-54 \end{align}となる．これらを連立させて解くと
\[a=2,r=-3\]よって， $a_n=\boldsymbol{2(-3)^{n-1}}$ となる．
第3項から第 $n$ 項までは，公比の $n-3$ 乗がかかるので，
\begin{align} a_n&=a_3r^{n-3}\\ &=\frac{3}{4}\left(\pm\frac{1}{2}\right)^{n-3}\\ &=\boldsymbol{3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1},3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}} \end{align}【別解】
初項を $a$ ，公比を $r$ とすると
第3項が $\dfrac{3}{4}$ であるから $ar^2=\dfrac{3}{4}$
第7項が $\dfrac{3}{64}$ であるから $ar^6=\dfrac{3}{64}$
となる．これらを連立させて解くと
\[a=3,r=\pm\frac{1}{2}\]よって， $a_n=\boldsymbol{3\left(\pm\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}}$ となる．