空間ベクトルの垂直条件

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの垂直を定義する．

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ のなす角が$90^\circ$ とき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は垂直であるといい，$\boldsymbol{\vec{a}\perp\vec{b}}$と表す．また，$\vec{0}$ はすべてのベクトルに対し垂直と定める．

このとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の内積は，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となる．逆に，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ならば$\vec{a}\perp\vec{b}$ といえる．つまり

\[\vec{a}\perp\vec{b} \Longleftrightarrow\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right)$ と$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ が垂直であるとき

\[ \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right) = 0 \Longleftrightarrow a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 0\] が成り立つ．

空間ベクトルの垂直条件

無題

無題

正四面体$\text{O-ABC}$ で，$\text{OA}\perp\text{OB}$ が垂直であることを証明せよ．

正四面体であるので

\[\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} =\overrightarrow{\text{OB}} \cdot\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \cdot\overrightarrow{\text{OA}}\]

より

\begin{align} \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} &=\overrightarrow{\text{OA}} \cdot (\overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OB}})\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OC}} −\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 0 \end{align}

以上から，$\text{OA}\perp\text{OB}$ であることが示せた．

空間ベクトルの内積と垂直条件

無題

無題

1 辺の長さ2 の正四面体$\text{ABCD}$ がある．$\text{AB}$の中点を$\text{M}，\text{CD}$ の中点を$\text{N}$ とする．$\overrightarrow{\text{DA}} = \vec{a}，\overrightarrow{\text{DB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{DC}} = \vec{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

  1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ．
  2. $\overrightarrow{\text{MN}}$ を$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ で表せ．
  3. $\text{MN}\perp\text{AB}$ であることを証明せよ．
  4. $\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|$を求めよ．
  5. $\overrightarrow{\text{DM}}$ と$\overrightarrow{\text{DC}}$ のなす角の余弦を求めよ．

  1. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ= \boldsymbol{2}\]
  2. \begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} &=\overrightarrow{\text{DN}} −\overrightarrow{\text{DM}}\\ &= \dfrac{1}{2}\vec{c} − \dfrac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \\ &=\boldsymbol{\dfrac{1}{2} (−\vec{a} − \vec{b} + \vec{c})} \end{align}

  3. $\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}$ であるので

    \begin{align} \overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} &=\dfrac{1}{2}(−\vec{a} − \vec{b} +\vec{c}) \cdot (\vec{b} − \vec{a})\\ &= \dfrac{1}{2}\left(−\vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{a}\right|^2 − \left|\vec{b}\right|^2 \right.\\ &\qquad \left.+ \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} − \vec{a} \cdot \vec{c}\right) \end{align}

    ここで，1. と$\text{ABCD}$ が正四面体であることから，$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = 2$であるので

    \[\overrightarrow{\text{MN}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = \dfrac{1}{2} (−2 + 4 − 4 + 2 + 2 − 2) = 0\]

    したがって，$\text{MN}\perp\text{AB}$ である．

  4. \begin{align} \left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right|^2 &= \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + \left|\vec{c}\right|^2\\ &\qquad+ 2\left( \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} +\vec{c} \cdot \vec{a} \right)\\ &= 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24 \end{align}

    したがって，$ \boldsymbol{\left|\vec{a} + \vec{b} +\vec{c}\right| = 2\sqrt{6}}$ である．

  5. $\triangle \text{DAB}$ は正三角形であり，$\text{M}$ が$\text{AB}$ の中点であることから

    \[\left|\overrightarrow{\text{DM}}\right| =\left|\overrightarrow{\text{AD}}\right| \sin 60^\circ=\sqrt{3}\]

    となり，また

    \begin{align} \overrightarrow{\text{DM}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}} &= \dfrac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}\\ &=\dfrac{1}{2}\left(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\right)= 2 \end{align}

    である．したがって，$\overrightarrow{\text{DM}}\cdot \overrightarrow{\text{DC}}$ のなす角を$\theta$とすると

    \[\cos \theta =\dfrac{\overrightarrow{\text{DM}} \cdot \overrightarrow{\text{DC}}}{ \left|\overrightarrow{\text{DM}}\right|\cdot \left|\overrightarrow{\text{DC}}\right|} = \dfrac{2}{2 \cdot \sqrt{3}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}\]