成分表示された空間ベクトルの内積

成分表示された2 つの空間ベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right), \vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ の内積について考えてみよう．

まず，$\vec{e_x} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right), \vec{e_y} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right), \vec{e_z} = \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right)$ について，それぞれのベクトルの大きさは$1$であり，どの2 つのベクトルのなす角も$90^\circ$ であるから

\begin{align} &\left|\vec{e_x}\right|=\left|\vec{e_y}\right|=\left|\vec{e_z}\right|= 1 \tag{1}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki1}\\ &\vec{e_x} \cdot \vec{e_y} = 0 , \vec{e_y} \cdot \vec{e_z} = 0 , \vec{e_z} \cdot \vec{e_x} = 0 \tag{2}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki2} \end{align}

が成り立つ．

ここで，$\vec{a}$ は

\begin{align} \vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} a_x\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\ a_y\\ 0\\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ a_z\\ \end{array} \right)\\ &= a_x \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) + a_y \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) + a_z \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array} \right) \end{align}

であるから，$\vec{a}$ を$\vec{e_x}，\vec{e_y}，\vec{e_z}$ に分解すると

\[\vec{a} = a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z} \tag{3}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki3}\]

となる．

同様にして

\[\vec{b} = b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z} \tag{4}\label{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki4}\]

となる．

よって， $\eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki3}，\eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki4}$より

\begin{align} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (a_x \vec{e_x} + a_y \vec{e_y} + a_z \vec{e_z}) \\ &\quad \cdot (b_x \vec{e_x} + b_y \vec{e_y} + b_z \vec{e_z})\\ &= a_xb_x \left|\vec{e_x}\right|^2 + a_yb_y \left|\vec{e_y}\right|^2 + a_zb_z \left|\vec{e_z}\right|^2 \quad \because \eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki2}\\ &= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \qquad \because \eqref{seibunhyouzisaretakuukanbekutorunonaiseki1} \end{align} となる．

空間ベクトルの内積

次の2 つのベクトルの内積の値とそのなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)$ を求めよ．

  1. $(−1, − 2, 1)，(1, − 1, 2)$
  2. $(1, 0, − 1)，(1, 2, − 2) $

  1. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = −1 \cdot 1 − 2 \cdot (−1) + 1 \cdot 2 = \boldsymbol{3}\]

    $\cos \theta =\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}$ であるので，

    \begin{align} &\cos \theta \\ &= \dfrac{3}{ \sqrt{(−1)^2 + (−2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (−1)^2 + 2^2} }\\ &=\dfrac{3}{ \sqrt{6}\sqrt{6} }=\dfrac{1}{2} \end{align}

    $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ より，$\boldsymbol{\theta = 60^\circ}$

  2. \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 − 1 \cdot (−2) =\boldsymbol{3}\]

    $\cos \theta =\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}$ であるので，

    \begin{align} &\cos \theta \\ &= \dfrac{3}{ \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} }\\ &=\dfrac{3}{ \sqrt{2}\sqrt{9} }=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align}

    $0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ より，$\boldsymbol{\theta = 45^\circ}$