平面上の3点が与えられたとき

ここでは，同一直線上にない空間内の3 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ を含む平面$\alpha$を表すベクトル方程式を求めてみる．

まず，平面$\alpha$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関して$\overrightarrow{\text{AP}}$ は，「ベクトルの1 次結合の定義」で見たように，平面上の1 次独立な2 つの$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ に分解して

$$\overrightarrow{\text{AP}} = s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}}$$

と表すことができる．

これを用いて$\overrightarrow{\text{OP}}$ は

$$\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &=\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AP}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}$$

と表すことができる．$\overrightarrow{\text{OP}} = \vec{p}$，$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AB}} =\vec{b} − \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c} − \vec{a}$ を用いて整理すると

$$\begin{align} \vec{p} &= \vec{a} + s(\vec{b} − \vec{a}) + t(\vec{c} − \vec{a})\\ &= (1 − s − t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c} \tag{1}\label{heimenjouno3tengaataeraretatoki1} \end{align}$$ となる．