平面上の1点と法線ベクトルが与えられたとき
次に，平面α上の1 点A(→a) と，α法線ベクトル→n が与えられた場合のベクトル方程式を求めてみる．
平面α上の点P(→p) に関して→AP は，法線ベクトル→n と常に垂直になるから
→n⋅→AP=0⇔→n⋅(→p−→a)=0と表すことができる．
次に，座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式をみていこう．
点A(x0,y0,z0) を通り，法線ベクトルが→n=(abc) である平面α上の点をP(x,y,z) とすると，→a=(x0y0z0) ，→p=(xyz) であるから，(2)より
(abc)⋅((xyz)−(x0y0z0))=0⇔(abc)⋅(x−x0y−y0z−z0)=0⇔a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0 となる．平面のベクトル方程式
点A(x0,y0,z0) と平面ax+by+cz+d=0 の距離をp とすると
p=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2であることを証明せよ．
- 点(1,1,1) と平面3x+6y+2z+3=0 との距離を求めよ．
点A から平面に下ろした垂線と平面との交点をP(x1,x2,x3) とすると，平面の法線ベクトル→n=(abc) と→PA のなす角度は0∘ もしくは180∘ であるので
\begin{align} &1 =\left|\dfrac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{PA}}}{\left|\vec{n}\right| \cdot \left|\overrightarrow{\text{PA}}\right|}\right|\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right| =\dfrac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{PA}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}\\ &= \dfrac{\left| \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_0 − x_1\\ y_0 − y_1\\ z_0 – z_1\\ \end{array} \right) \right|} {\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right|\\ &= \dfrac{\left|a(x_0 − x_1) + b(y_0 − y_1) + c(z_0 − z_1) \right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right| = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align} \blacktriangleleft 点\text{P} は平面上にあるので，ax_1 +by_1 + cz_1 + d = 0 が成立することを用いたここで，\overrightarrow{\text{PA}} = p であるので，
p =\dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}となる．
- 1. の関係を用いて p =\dfrac{\left|3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3\right|}{ \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2}}= 2