等差数列の一般項

この等差数列の第 $N$ 項つまり一般項 $a_N$ は

「第 $N$ 項は初項 $a$ に $d$ を $N−1$ 個加えたもの」

と考えて

$$a_N=a+(N−1)d$$

となるのはすぐにわかるだろう．

また，漸化式 $(1)$ から一般項 $a_N$ を求める方法もみておこう．

STEP1

漸化式を $a_{n+1}−a_n=d$ と変形し， $n$ に $1,2,3,\cdots,N−2,N−1$ を代入し，得られる式を縦に並べておく．

$$\begin{array}{rlclcl} a_2&-&a_1&=&d\\ a_3&-&a_2&=&d\\ &&\vdots&&\\ a_{N-1}&-&a_{N-2}&=&d\\ a_N&-&a_{N-1}&=&d \end{array}$$

STEP2

すべての式の辺々を加え合わせる．

$$\begin{array}{rlclcl}&a_2&-&a_1&=&d\\&a_3&-&a_2&=&d\\&&&\vdots&&\\&a_{N-1}&-&a_{N-2}&=&d\\+)&a_N&-&a_{N-1}&=&d\\\hline&a_N&-&a_1&=&(N-1)d\end{array}$$

よって， $a_1=a$ であることに注意して，次式を得る．

$$a_N=a+(N-1)d$$