数え上げの基本の練習問題（全6問・解答つき）

順列か組合せなのかを考えて、表や樹形図でまとめてから数える。以下の解答では、表でまとめた場合の解答である。樹形図についてまとめた場合には、右の図を参照のこと。数える樹形図の枝にはチェックマーク✓が入れてある。

1. 

   下の表で、和が5になるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、4通り。

   1234 11,12,13,14,1 21,22,23,24,2 31,32,33,34,3 41,42,43,44,4

2. 

   下の表で、和が5になるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、2通り。

   1234 11,1--- 21,22,2-- 31,32,33,3- 41,42,43,44,4

3. 

   下の表で、はじめに引いたカードの数字が、あとに引いたカードの数字より小さくなるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、6通り。

   1234 1-2,13,14,1 21,2-3,24,2 31,32,3-4,3 41,42,43,4-

4. 

   下の表で、2枚のカードの数字の和が5以上となるものを数えればよい。網掛けの部分を数えて、4通り。

   1234 1---- 21,2--- 31,32,3-- 41,42,43,4-

1. さいころの数字6通りのそれぞれに対して，カードの数字は4通りに定まるから，積の法則より 6×4=24通り

   《補足》 このことを，集合で表現すると以下のようになる．

   A ：「さいころを1回振る」

   B ：「カードを1枚引く」

   とおくと，求める場合の数は n(A×B) となり

   n(A×B)= n(A)×n(B) = 6×4=24通り

2. 2つの数字の和が4の倍数となるのは

   1. 2つの数字の和が4の場合
   2. 2つの数字の和が8の場合

   に分けることができ，i)の場合は(さいころ,カード)の順で (1, 3)，(2, 2)，(3, 1) の3通りあり，

   ii)の場合も (4, 4)，(5, 3)，(6, 2) の3通りある．

   また，これらは同時に起こることはないから，和の法則より

   3+3=6通り

   《補足》 このことを，集合で表現すると以下のようになる．

   P ：「2つの数字の和が4である」

   Q ：「2つの数字の和が8である」

   とおくと，求める場合の数は n(P∪Q) となり， P∩Q=∅ であるから n(P∪Q)=n(P)+n(Q) =3+3=6通り

積の法則・和の法則の利用の例題(1)で求めた全体24通りのうち，「2つの数字の和が4の倍数となる」のは(2)より，6通りである．

よって，「2つの数字の和が4の倍数とは

ならない

」のは

24-6=18 通り．

《補足》 このことを，集合で表現すると以下のようになる．

全体集合 U を U=A×B とおくと，求める場合の数は n(P∪Q) であるから

n(P∪Q) = n(U)-n(P∪Q) = 24-6=18通り

この問題は，補集合の考え方を使わなくても，例えば和の法則で次のように解くこともできる．

A1 ：「カードの数字が1の場合で2つの数字の和が4の倍数にならない」

A2 ：「カードの数字が2の場合で2つの数字の和が4の倍数にならない」

A3 ：「カードの数字が3の場合で2つの数字の和が4の倍数にならない」

A4 ：「カードの数字が4の場合で2つの数字の和が4の倍数にならない」

とおくと，どの2つの事柄も同時におこることがないので

5+4+4+5=18 通り

となるが，補集合を考えたときに比べてかなり面倒である．

そこで，次のような原則を引き出すことができるだろう．

2つの数字の偶奇とその積の偶奇の関係は下の表のようになる．

さいころカード積 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数 偶数×奇数＝偶数 偶数×偶数＝偶数

これより，積が偶数になる場合より，奇数になる場合の方が数えやすそうだとわかるので，補集合を考えてみることにする．

C ：「さいころの数字が偶数である」

D：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は n(C∪D) であり，その補集合の要素の個数は n(C∪D) であるから， 全体集合を U とすると

n(C∪D)=n(U)-n(C∪D)

ここで，『ド・モルガンの法則』より

n(C∪D)=n(C∩D)

であり，集合 C∩D に対応する事柄は，「さいころの数字が偶数でなく，かつ，カードの数字が偶数でない」つまり

「さいころ，カードの数字がともに奇数である」

となるので，積の法則から

n(C∩D)=3×2=6

よって

n(C∪D)=n(U)-n(C∪D) =n(U)-n(C∩D) =24-6=18

通り

『ド・モルガンの法則』の例題の場合と同じように

C ：「さいころの数字が偶数である」

D ：「カードの数字が偶数である」

とおくと，求める場合の数は n(C∪D) である． 和集合の要素の個数に関して

n(C∪D)=n(C)+n(D)-n(C∩D)

が成り立つ．また，集合 C∩D に対応する事柄は

「さいころ，カードの数字が共に偶数」

となる．

ここで， n(C) ， n(D) ， n(C∩D) はそれぞれ

n(C)=3×4=12 n(D)=6×2=12 n(C∩D)=3×2=6

となるので

n(C∪D)=n(C)+n(D)-n(C∩D) =12+12-6=18

通り

事柄A，Bをそれぞれ

A ：「3で割りきれる」

B ：「7で割りきれる」

とする．まず， n(A) と n(B) について

100÷3=33 あまり1

100÷7=14 あまり2

であるから

n(A) = 33,n(B) = 14

である．

1. 「3で割りきれ，かつ，7で割りきれる数」は集合で A∩B と表すことができ， これは結局「21で割りきれる数」のことである．
2. 「3で割りきれるか，または，7で割りきれる数」は集合で A∪B と表すことができる．
3. 求める場合の数は n(A∩B) である．全体集合をUとすると
4. 求める場合の数は n(A∪B) である．