組合せの練習問題（全11問・解答つき）

1. 5C2=(5・ 4)/(2・ 1)=10
2. 4C4=(4・ 3・ 2・ 1)/(4・ 3・ 2・ 1)=1
3. 10C3=(10・ 9・ 8)/(3・ 2・ 1)=120
4. 20C2=(20・ 19)/(2・ 1)=190

1. 10C4=(10・ 9・ 8・ 7)/(4・ 3・ 2・ 1)=210 通り

2. 男子2人の組合せそれぞれに対して、女子2人の組合せが決められるので

   5C2・ 5C2=(5・ 4)/(2・ 1)・ (5・ 4)/(2・ 1)=100 通り

3. 男子3人の組合せそれぞれに対して、女子1人の組合せが決められるので

   5C3・ 5C1=(5・ 4・ 3)/(3・ 2・ 1)・ 5/1=50 通り

1. 横4本の平行線のうちから2本、縦7本の平行線のうちから2本をそれぞれ選べば、1個の長方形が定まる。

   よって

   4C2・ 7C2=126 個

2. 10個の頂点のうち2個を選べば、1本の対角線または辺が定まる。辺の数は10本であるから、これを除いて

   10C2-10=45-10=35 本

1. 10人から3人を選びグループとし、残った7人をもうひとつのグループにすればよい。よって

   10C3・ 7C7=(10・ 9・ 8)/(3・ 2・ 1)・1=120 通り

2. 10人から5人を選びグループとし、残った5人をもうひとつのグループにすればよい。

   しかし、10人を a,b,c,d,e,f,g,h,i,j とすると、例えばはじめに a,b,c,d,e の5人を 選んだ場合と、はじめに f,g,h,i,j を選んだ場合では、どちらも

   (a,b,c,d,e)(f,g,h,i,j)

   という2つのグループに分かれるという点では同じである。つまり、これらは2つで1通りと数えなければならない。

   他の選び方でも同様のことがいえるので、2で割ることにより重複の分を修正して

   10C5・ 5C52 =(10・ 9・ 8・ 7・ 6)/(5・ 4・ 3・ 2・ 1)・1・1/2 =126通り

3. 最初に4人選びグループとし、残った6人から3,3人のグループをつくればよい。 ただし、3人のグループが2つあるので、2. と同じように重複した分は修正する必要がある。

   10C4・ 6C3・ 3C32 = (10・ 9・ 8・ 7)/(4・ 3・ 2・ 1)・ (6・ 5・ 4)/(3・ 2・ 1)・ 1/2 = 2100

   ∴2100通り

4. 2人ずつ選んでいけばよい。ただし、2人のグループが5つあるので、同じ分け方を、5つのグループを選ぶ順番の違い、すなわち5つのグループの並べ方 5! 通りずつ重複して数えている。よって、5! で割って重複を修正すると

   10C2・ 8C2・ 6C2・ 4C2・ 2C25! = (10・ 9)/(2・ 1)・ (8・ 7)/(2・ 1)・ (6・ 5)/(2・ 1) ・ (4・ 3)/(2・ 1)・ 1/(5・ 4・ 3・ 2・ 1) = 945

   ∴945通り

1. 1を3つ、2を2つ、3を2つ含むから

   C(3, 2, 2)= 7C3× 7-3C2・ 7-3-2C2 = 7C3× 4C2× 2C2=210

   ∴210通り

   《別解》

   C(3, 2, 2)=7!/(3! 2! 2!)=210 通り

2. Uを3つ、Aを2つ、S、G、Kをそれぞれ1つ含むから

   C(3, 2, 1, 1, 1) = 8C3・ 8-3C2・ 8-3-2C1 ・ 8-3-2-1C1・ 8-3-2-1-1C1 = 8C3× 5C2× 3C1× 2C1× 1C1 = 3360

   ∴3360通り

   《別解》

   C(3, 2, 1, 1, 1)= 8!/(3! 2! 1! 1! 1!) = 3360通り

北に1区画進むことを↑、東に1区画進むことを→で表すと、例えば図のように進む場合には

↑→→→↑↑→↑↑→→

と表すことができる。

1. 北に1区画進むことを ↑ 、東に1区画進むことを → で表すと、A地点からB地点への最短経路は、5個の ↑ と6個の → (↑↑↑↑↑→→→→→→ ) を一列に並べる順列の総数に等しい。

   よって、求める最短経路の数は

   11!/5!6!=462 通り

   となる。

2. 1. (C地点を通る最短経路)

      まず、A地点からC地点までの最短経路の数は

      4!/2!2!=6 通り

      であり、この6通りそれぞれに対し、C地点からB地点までの最短経路

      7!/3!4!=35 通り

      が決まるから、積の法則より

      6×35=210 通り

   2. (D地点を通る最短経路)

      同様にして

      7!/4!3!×4!/1!3!=35×4=140 通り

3. 集合C,Dをそれぞれ

   C :C地点を通る最短経路

   D :D地点を通る最短経路

   とおくと、 n(C∩D) 、つまりC、D両地点を通る最短経路の数は

   n(C∩D)= 4!/2!2!×3!/2!1!×4!/1!3! = 6×3×4=72

   であるから、 n(C∪D) 、つまり求める最短経路の数は

   n(C∪D)=n(C)+n(D)-n(C∩D) =210+140-72=278

   ∴278通り

1. (2x+1)⁶ を展開したとき、 x² を含む項は

   6C4(2x)²1⁴

   となる。よって、 x² の係数は

   6C4・2²=60

2. (2x−3y)⁵ を展開したとき、 x³y² を含む項は

   5C2(2x)³(-3y)²

   となる。よって、 x³y² の係数は

   5C2・2³・(-3)²=720

3. (a+b)⁷ の展開において、 a=x²,b=-1/2x としたものが (x²-1/2x)⁷ である。 7 個の (a+b) のうち r 個から b を、残りの 7-r 個から a をとると、 x は分子に (x²)^7-r=x^14-2r、分母に x^r と現れる。これが 1/x になるのは、分母の x の個数が分子より1個多いとき、つまり r-(14-2r)=1 より r=5 のときである。よって、 a²b⁵ を計算すると 1/x の項ができるので、このときの係数を求める。

   7C5a²b⁵ = 7C5(x²)²(-1/2x)⁵ = 7C5(-1/2)⁵1/x = -21/32・1/x

   よって、求める係数は -21/32 である。

4. (a+b)¹² の展開において、 a=x,b=-1/2x² としたものが (x-1/2x²)¹² である。 3. と同じように、 r 個から b を、残りの 12-r 個から a をとると、 x は分子に x^12-r、分母に (x²)^r=x^2r と現れる。これが約分されて x が残らないのは、分子と分母の x の個数が等しいとき、つまり 12-r=2r より r=4 のときである。よって、 a⁸b⁴ を計算すると定数項ができるので、このときの係数を求める。

   12C4a⁸b⁴ = 12C4x⁸(-1/2x²)⁴ = 12C4(-1/2)⁴ = 495/16

   よって、求める係数は 495/16 である。

1. (2x+y-z)⁸={2x+(y-z)}⁸ として考える。

   これを展開したとき、 x² の項は

   8C6(2x)²(y-z)⁶

   として計算される。

   さらに (y−z)⁶ を展開したとき、 y³ の項は

   6C3y³(-z)³

   として計算される。

   よって、 (2x+y-z)⁸ を展開したときの x²y³z³ の係数は

   8C6・ 2²・ 6C3・(-1)³ = -4・ 8C2・ 6C3=-2240

2. (x-2y-z)⁵={x+(-2y-z)}⁵ として考える。 これを展開したとき、 x² の項は

   5C3x²(-2y-z)³

   として計算される。

   さらに (−2y−z)³ を展開したとき、 y の項は

   3C2(-2y)(-z)²

   として計算される。

   よって、 (x−2y−z)⁵ を展開したときの x²yz² の係数は

   5C3・ 3C2・(-2)・(-1)² = -2・ 5C2・ 3C1=-60

2項定理

(a+b)^n = nC0a^n+ nC1a^n-1b+ nC2a^n-2b²+… + nCn-1ab^n-1+ nCnb^n

において

1. a=b=1 とおくと

   2^n= nC0+ nC1+ nC2+… + nCn-1+ nCn

   となり、確かに成立する。

2. a=1,b=−1 とおくと

   0= nC0- nC1+ nC2-… +(-1)^n-1 nCn-1+(-1)^n nCn

   となり、確かに成立する。

3. a=1,b=−2 とおくと

   (-1)^n = nC0-2 nC1+2² nC2-… +(-2)^n-1 nCn-1+(-2)^n nCn

   となり、確かに成立する。

1. パスカルの三角形を n=6 の場合まで書くと、図のようになるので

   

   (x+y)⁶ = x⁶+6x⁵y+15x⁴y²+20x³y³ +15x²y⁴+6xy⁵+y⁶

2. パスカルの三角形を n=5 の場合まで書くと、図のようになるので

   

   (x-2y)⁵ = x⁵+5x⁴(-2y)+10x³(-2y)² +10x²(-2y)³+5x(-2y)⁴+(-2y)⁵ = x⁵-10x⁴y+40x³y² -80x²y³+80xy⁴-32y⁵