FTEXT 数学

平面図形の練習問題（全17問・解答つき）

数学A「平面図形」（図形の性質）の練習問題を17問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます

問題1内分と外分

次の線分 において，次の点を図示せよ．

等間隔に目盛りが付いた直線上に点Aと点Bがある。点Aと点Bの間は5目盛り離れており、点Aの左側に5目盛り、点Bの右側に12目盛りの直線が続いている。
  1. を に内分する点
  2. を に外分する点
  3. を に内分する点
  4. を に外分する点
解答を見る
等間隔の目盛りが並んだ直線上に、左から順に点S、A、P、R、B、Qが並んでいる。線分ABの長さは5目盛りで、点PはAから1目盛り、点Rは3目盛り、点SはAの左へ5目盛りの位置にある。

問題2角の2等分線の定理

次の図の において，点 は の二等分線と辺 との交点である．このとき，線分 の長さを求めよ．

△ABCにおいて、辺ABの長さは10、辺ACの長さは8、辺BCの長さは18である。頂点Aから∠Aを二等分する線分ADが辺BCに引かれている。
解答を見る

とおくと，角の二等分線の定理より，

問題3三角形の外角の二等分線と比

次の図の において，点Dは の外角の二等分線と半直線 との交点である．このとき，線分 の長さを求めよ．

AB=7、AC=5、BC=6である△ABCにおいて、頂点Aの外角の二等分線と半直線BCの交点をDとし、二等分された角に黒丸印が付いている。
解答を見る

とおくと，外角の二等分線の定理より，

問題4重心

図において，次の線分の長さを求めよ．

ただし，点Gは の重心とする．

△ABCにおいて、辺BC上の点Dと辺AC上の点Eに対し、線分ADと線分BEの交点をGとする。BDの長さが7、AGの長さが6、BEの長さが12と示されている。
解答を見る

問題5内心

次の図において，次の角の大きさを求めよ．ただし，点 は の内心とする．

△ABCの内部に点Iがあり、頂点B、Cとそれぞれ線分BI、CIで結ばれている。∠Aの大きさが80°、∠ACIの大きさが30°である。
解答を見る
  1. において，
  2. において，

問題6内接円の半径と三角形の面積

次の図のような があり，面積は である．この三角形の内接円の半径を求めよ．

中心を点Oとする内接円をもつ△ABCがあり、辺ABの長さが12、辺BCの長さが16、辺CAの長さが8であることが示されている。
解答を見る

であることに着目する．

内接円の半径を とすると，

3辺の長さが12、8、16である三角形の内側に、中心O、半径rの内接円が描かれている。点Oから各辺へ下ろした垂線の長さはすべてrで、点Oと各頂点は破線で結ばれている。

問題7外心

次の図において，次の角の大きさを求めよ．ただし，点 は の外心とする．

△ABCとその内部にある点Oが描かれており、点Oと頂点B、Cが線分で結ばれている。∠Aは80°、∠OCAは20°と示されている。
解答を見る

は二等辺三角形である．

  1. より，
  2. において，

問題8垂心

空白

解答を見る

空白

問題9チェバの定理

の がある．点 から辺 に垂線を引き交点を とする．また， の二等分線と線分 ，辺 との交点をそれぞれ とし，直線 と辺 との交点を とする．このとき， を求めよ．

∠A=90°の直角三角形ABCにおいて、頂点Aからの垂線AP、∠Bの二等分線BR、交点Qを通る直線CSが1点Qで交わっており、辺ABの長さが3、辺ACの長さが4と示されている。
解答を見る

また， より， ，

より，

よって， となる．

一方， である．

チェバの定理より，

問題10メネラウスの定理

において，辺 を の比に内分する点を ，辺 を の比に内分する点を とし， と の交点を ， と の交点を とする．このとき，次のものを求めよ．

△ABCの各頂点から対辺に引いた線分AD、BE、CFが1点Pで交わっている。辺AB上にAF:FB=1:2、辺AC上にAE:EC=3:1となる比の数字が添えられている。
解答を見る
  1. チェバの定理より，
  2. と直線 にメネラウスの定理を用いると，
  3. と直線 にメネラウスの定理を用いると，
  4. より，

問題11円周角の定理

次の図で， の大きさを求めよ．

  1. 円周上に4点があり、共通の弧に対する2つの円周角が描かれている。一方の円周角の大きさは48°で、もう一方の円周角の大きさはxである。
  2. 円の中に、同じ弧に対する円周角と中心角が描かれている。円周角の大きさが66°であり、円の中心にある中心角の大きさがxと表されている。
  3. 円とその中心があり、同じ弧に対する中心角と円周角が描かれている。中心角の大きさは150°、円周角の大きさはxと示されている。
  4. 円とその中心があり、円周上の点で作られる2つの円周角がそれぞれ19°と37°で示されている。また、これらの角に対応する中心角の大きさがxと表されている。
  5. 円に内接する三角形があり、その1辺は円の中心を通る直径となっている。底辺の左側の角の大きさが20°、右側の角の大きさがxである。
  6. 円の中心と円周上の3つの点が線で結ばれている。上の頂点において中心と右の点へ伸ばした線分がなす角が40°、左下の頂点において上の点と中心へ伸ばした線分がなす角がxと表されている。
解答を見る

問題12円周角の定理の逆

次の図で， の大きさを求めよ．

  1. 四角形ABCDとその対角線AC、BDがある。∠CAD=40°、∠ABD=30°、∠ADB=81°、∠ACD=30°、∠ACB=xと示されている。
  2. 四角形ABCDと2本の対角線AC、BDが描かれている。∠ABDの大きさがxとされ、∠DBC=32°、∠ACD=30°、∠BDC=118°と示されている。
  3. 直線BE上に点C、直線AE上に点Dがあり、∠BAC=98°、∠DBC=15°、∠ACB=42°、∠E=27°である。線分ACとCDのなす角∠ACDがxと示されている。
解答を見る
  1. より，

問題13円に内接する四角形の定理

次の図で， の大きさを求めよ．

  1. 円に内接する四角形ABCDがあり、∠A=120°、∠D=110°、∠B=xである。また、辺BCのC側の延長線と辺CDがなす外角がyである。
  2. 円に内接する四角形ABCDがあり、対角線BDが引かれている。角の大きさは∠BCDが100°、∠ABDが55°、∠ADBがxである。
  3. 円Oの円周上に点A, B, Cがあり、ACの延長線とBCのなす角は78°である。中心Oと点A, Bを結ぶ線分OA, OBのなす角AOBの大きさが角xとして示されている。
  4. 円に内接する四角形ABCDと対角線ACがあり、∠BAC=52°、辺ADと辺CDの長さが等しく∠ADC=xである。また、辺BCの延長線と辺CDのなす角が86°である。
  5. 円 O に内接する四角形 ABCD があり、頂点 A から中心 O を通る点線が辺 BC と垂直に交わっている。また、∠BAC=50°、∠ADC=x と表されている。
  6. 円に内接する四角形ABCDと対角線BDがあり、∠BAD=112°、∠DBC=xである。また、円の中心Oと頂点C、Dを結ぶ線分があり、∠BDO=y、∠ODC=38°である。
解答を見る
  2. より，
  4. より，
  5. は の二等辺三角形だから，
  6. は の二等辺三角形だから，

問題14接弦定理

次の図で， は円の接線であり， はその接点である． の大きさを求めよ．

  1. 円に内接する△ABCがあり、接点Aを通る接線ATが引かれている。∠ACBの大きさが65°で、弦ABと接線ATのなす角がxで示されている。
  2. 円に内接する△ABCがあり、点Aを通る接線ATが引かれている。∠ACBは65°で、弦ABと接線ATのなす角∠BATがxと示されている。
  3. 円に内接する△ABCがあり、点Aで円に接する接線ATがある。∠Cの大きさが65°で、弦ABと接線ATのなす角∠BATの位置にxと示されている。
  4. 円に内接する△ABCと、接点Aで円に接する直線ATがある。∠C=65°で、弦ABと接線ATのなす角∠BATがxと示されている。
  5. 円に内接する三角形ABCがあり、点Aにおける接線上に点Tがある。∠Cの大きさが65°で、弦ABと接線ATのなす角∠BATがxと表示されている。
  6. 円の点Aにおける接線ATと、円に内接する△ABCが描かれている。∠C=65°であり、弦ABと接線ATのなす角∠BATがxと表されている。
解答を見る
  5. ，

問題15方べきの定理

次の図において， の値を求めよ．ただし，Tは円の接点とする．

  1. 円の内部で2つの弦ABとCDが点Pで交わっている。それぞれの線分の長さは、PA=4、PB=4、PC=8、PD=xである。
  2. 円の外部にある点Pから2本の割線PABとPDCが引かれており、各線分の長さがPB=x、AB=6、PD=5、CD=3と示されている。
  3. 円の外部の点Pから、円と2点A、Bで交わる直線と、点Tで接する接線PTが引かれている。線分ABの長さが4、線分PAの長さが6、線分PTの長さがxである。
解答を見る
  1. ，

問題162円の関係

円 は を中心とした半径 の円，円 は を中心とした半径 の円とする．

  1. のとき，円 と はどんな位置関係にあるか．また， のとき， のときはどうか．
  2. と が外接するとき線分 の長さを求めよ．また，内接するときはどうか．
  3. が に含まれるための，線分 の長さの条件を求めよ．
解答を見る
  1. のときは共有点がない
  2. 外接のときは ，内接のときは ．
  3. 線分 の長さが，内接するときより短ければよいので， ．

問題172円と共通接線

次の図で，直線 は円 ， の共通接線で， ， はその接点である．このとき，点 から直線 に垂線 を引き， を考えることにより，線分 の長さを求めよ．

  1. 半径10の円Oと半径5の円O'があり、中心間の距離OO'は13である。共通接線ABに対し、点O'から半径OAに下ろした垂線O'A'と、直角三角形OO'A'が描かれている。
  2. 中心間距離OO'=15である半径8の円Oと半径4の円O'がある。共通接線ABの接点Aを通る半径OAの延長線上に点O'から垂線O'A'を下ろした直角三角形OO'A'が作られている。
解答を見る