平面図形の練習問題

Question 1

次の線分 AB において、次の点を図示せよ。
［図：等間隔に目盛りが付いた直線上に点Aと点Bがある。点Aと点Bの間は5目盛り離れており、点Aの左側に5目盛り、点Bの右側に12目盛りの直線が続いている。］
(1) AB を 1：4 に内分する点 P
(2) AB を 3：2 に外分する点 Q
(3) AB を 3：2 に内分する点 R
(4) AB を 1：2 に外分する点 S

Accepted Answer

［図：等間隔の目盛りが並んだ直線上に、左から順に点S、A、P、R、B、Qが並んでいる。線分ABの長さは5目盛りで、点PはAから1目盛り、点Rは3目盛り、点SはAの左へ5目盛りの位置にある。］

Question 2

次の図の △ABC において、点 D は ∠A の二等分線と辺 BC との交点である。このとき、線分 BD の長さを求めよ。
［図：△ABCにおいて、辺ABの長さは15、辺ACの長さは12、辺BCの長さは18である。頂点Aから∠Aを二等分する線分ADが辺BCに引かれている。］

Accepted Answer

BD=x とおくと、角の二等分線の定理より、
AB:AC=BD:DC
15:12=x:(18-x)
5:4=x:(18-x)
4x=5(18-x)
9x=90
x=10
∴BD=10

Question 3

次の図の △ABC において、点Dは ∠A の外角の二等分線と半直線 BC との交点である。このとき、線分 CD の長さを求めよ。
［図：AB=7、AC=5、BC=6である△ABCにおいて、頂点Aの外角の二等分線と半直線BCの交点をDとし、二等分された角に黒丸印が付いている。］

Accepted Answer

CD=x とおくと、外角の二等分線の定理より、
AB:AC=BD:DC
7:5=(6+x):x
7x=5(6+x)
2x=30
x=15
∴CD=15

Question 4

図において、次の線分の長さを求めよ。
ただし、点Gは △ABC の重心とする。
(1) CD
(2) DG
(3) BG
(4) EG
［図：△ABCにおいて、辺BC上の点Dと辺AC上の点Eに対し、線分ADと線分BEの交点をGとする。BDの長さが7、AGの長さが6、BEの長さが12と示されている。］

Accepted Answer

(1) CD=BD=7
(2) DG=(1/2)AG=1/2×6=3
(3) BG=(2/3)BE=2/3×12=8
(4) EG=(1/3)EB=1/3×12=4

Question 5

次の図において、次の角の大きさを求めよ。ただし、点 I は △ABC の内心とする。
(1) ∠ABI
(2) ∠BIC
［図：△ABCの内部に点Iがあり、頂点B、Cとそれぞれ線分BI、CIで結ばれている。∠Aの大きさが80°、∠ACIの大きさが30°である。］

Accepted Answer

(1) △ABC において、
2∠ABI+30°×2+80°=180° より、
∠ABI=20°
(2) △IBC において、
20°+30°+∠BIC=180° より、
∠BIC=130°

Question 6

次の図のような △ABC があり、面積は 12√15 である。この三角形の内接円の半径を求めよ。
［図：中心を点Oとする内接円をもつ△ABCがあり、辺ABの長さが12、辺BCの長さが16、辺CAの長さが8であることが示されている。］

Accepted Answer

△OAB+△OBC+△OCA=△ABC であることに着目する。
内接円の半径を r とすると、
1/2×12×r+1/2×16×r
+1/2×8×r=12√15
r=2√15/3
［図：3辺の長さが12、8、16である三角形の内側に、中心O、半径rの内接円が描かれている。点Oから各辺へ下ろした垂線の長さはすべてrで、点Oと各頂点は破線で結ばれている。］

Question 7

次の図において、次の角の大きさを求めよ。ただし、点 O は△ABC の外心とする。
(1) ∠ABO
(2) ∠BOC
［図：△ABCとその内部にある点Oが描かれており、点Oと頂点B、Cが線分で結ばれている。∠Aは80°、∠OCAは20°と示されている。］

Accepted Answer

△OAB,△OBC,△OCA は二等辺三角形である。
(1) ∠OAC=∠OCA=20° より、
∠ABO=∠BAO=80°-20°=60°
(2) △ABC において、
20°+80°+60°+∠OBC+∠OCB
=180°
よって、
∠OBC+∠OCB=20° だから、 △OBC において、
∠BOC=180°-20°=160°

Question 8

∠A=90°,AB=3,AC=4 の △ABC がある。点 A から辺 BC に垂線を引き交点を P とする。また、 ∠B の二等分線と線分 AP 、辺 CA との交点をそれぞれ Q,R とし、直線 CQ と辺 AB との交点を S とする。このとき、 AS:SB を求めよ。
［図：∠A=90°の直角三角形ABCにおいて、頂点Aからの垂線AP、∠Bの二等分線BR、交点Qを通る直線CSが1点Qで交わっており、辺ABの長さが3、辺ACの長さが4と示されている。］

Accepted Answer

BC=√(3²+4²)=5
また、 △ABC∽△PBA より、 BP=9/5、
△ABC∽△PAC より、 PC=16/5
よって、 BP:PC=9:16 となる。
一方、 CR:RA=BC:BA=5:3 である。
チェバの定理より、
BP/PC・CR/RA・AS/SB=1
9/16・5/3・AS/SB=1
AS/SB=16/15
AS:SB=16:15

Question 9

△ABC において、辺 AC を 3:1 の比に内分する点を E 、辺 AB を 1:2 の比に内分する点を F とし、 BE と CF の交点を P 、 AP と BC の交点を D とする。このとき、次のものを求めよ。
(1) BD:DC
(2) AP:PD
(3) CP:PF
(4) △ABP:△ABC
［図：△ABCの各頂点から対辺に引いた線分AD、BE、CFが1点Pで交わっている。辺AB上にAF:FB=1:2、辺AC上にAE:EC=3:1となる比の数字が添えられている。］

Accepted Answer

(1) チェバの定理より、
BD/DC・CE/EA・AF/FB=1,BD/DC・1/3・1/2=1
よって、
BD:DC=6:1
(2) △ADC と直線 BE にメネラウスの定理を用いると、
DB/BC・CE/EA・AP/PD=1,6/7・1/3・AP/PD=1
よって、
AP:PD=7:2
(3) △ACF と直線 BE にメネラウスの定理を用いると、
CP/PF・FB/BA・AE/EC=1,CP/PF・2/3・3/1=1
よって、
CP:PF=1:2
(4) AP:PD=7:2 より、 △ABP=(7/9)△ABD
BD:DC=6:1 より、 △ABD=(6/7)△ABC
よって、 △ABP=7/9×(6/7)△ABC=(2/3)△ABC
ゆえに、 △ABP:△ABC=2:3

Question 10

次の図で、 ∠x の大きさを求めよ。
(1) ［図：円周上に4点があり、共通の弧に対する2つの円周角が描かれている。一方の円周角の大きさは48°で、もう一方の円周角の大きさはxである。］
(2) ［図：円の中に、同じ弧に対する円周角と中心角が描かれている。円周角の大きさが66°であり、円の中心にある中心角の大きさがxと表されている。］
(3) ［図：円の中心Oと、円周上の左の点L、右の点R、上の点Tが線で結ばれている。中心の角LORは150°で、上向きに開いている（点Tのある側の弧に向いている）。点Tにおける角LTRがxである。つまり中心角150°と円周角xは、同じ弧ではなく、たがいに反対側の弧に対応している。］
(4) ［図：円の中心Oと、円周上の4点が結ばれている。左下の点L、下の点B、右下の点R、左上の点P、右上の点Qがある。点Pにおける角LPBが19°、点Qにおける角BQRが37°で、この2つの円周角は点Bを共有する隣り合った2つの弧に対応している。中心の角LORはこの2つを合わせた弧（点Bを通るほうの弧LR）に対応し、その大きさがxである。］
(5) ［図：円に内接する三角形があり、その1辺は円の中心を通る直径となっている。底辺の左側の角の大きさが20°、右側の角の大きさがxである。］
(6) ［図：円の中心Oと、円周上の上の点T、右の点R、左下の点Lが線で結ばれている。左下の点Lと中心Oと右の点Rは一直線上にあり、線分LRは円の直径である。点Tにおいて中心Oへ引いた線分と右の点Rへ引いた線分がなす角が40°、点Lにおいて上の点Tへ引いた線分と直径LRがなす角がxである。］

Accepted Answer

(1) 48°
(2) 132°
(3) 105°
(4) 112°
(5) 70°
(6) 50°

Question 11

次の図で、 ∠x の大きさを求めよ。
(1) ［図：四角形ABCDとその対角線AC、BDがある。∠CAD=40°、∠ABD=30°、∠BDC=81°、∠ACD=30°、∠ACB=xと示されている。］
(2) ［図：四角形ABCDと2本の対角線AC、BDが描かれている。∠ABDの大きさがxとされ、∠DBC=32°、∠ACD=30°、∠ADC=118°と示されている。］
(3) ［図：直線BE上に点C、直線AE上に点Dがあり、∠BAD=98°、∠DBC=15°、∠ACB=42°、∠E=27°である。線分ACとCDのなす角∠ACDがxと示されている。］

Accepted Answer

(1) ∠ABD=∠ACD=30° より、
4点 A,B,C,D は同一円周上にある。
∠CBD=∠CAD=40° より、
△BCD において、
∠x=180°-(40°+81°+30°)=29°
(2) ∠CAD=180°-(118°+30°)=32°
∠CAD=∠CBD より、
4点 A,B,C,D は同一円周上にある。
∠x=∠ACD=30°
(3) ∠CAD=42°-27°=15°
∠CAD=∠CBD より、
4点 A,B,C,D は同一円周上にある。
∠x=∠ABD
=180°-(98°+27°+15°)
=40°

Question 12

次の図で、 ∠x,∠y の大きさを求めよ。
(1) ［図：円に内接する四角形ABCDがあり、∠A=120°、∠D=110°、∠B=xである。また、辺BCのC側の延長線と辺CDがなす外角がyである。］
(2) ［図：円に内接する四角形ABCDがあり、対角線BDが引かれている。角の大きさは∠BCDが100°、∠ABDが55°、∠ADBがxである。］
(3) ［図：円Oの円周上に点A, B, Cがあり、ACの延長線とBCのなす角は78°である。中心Oと点A, Bを結ぶ線分OA, OBのなす角AOBの大きさが角xとして示されている。］
(4) ［図：円に内接する四角形ABCDと対角線ACがあり、∠BAC=52°、辺ADと辺CDの長さが等しく∠ADC=xである。また、辺BCの延長線と辺CDのなす角が86°である。］
(5) ［図：円 O に内接する四角形 ABCD があり、頂点 A から中心 O を通る点線が辺 BC と垂直に交わっている。また、∠BAC=50°、∠ADC=x と表されている。］
(6) ［図：円に内接する四角形ABCDと対角線BDがあり、∠BAD=112°、∠DBC=xである。また、円の中心Oと頂点C、Dを結ぶ線分があり、∠BDO=y、∠ODC=38°である。］

Accepted Answer

(1) ∠x=180°-110°=70°,∠y=120°
(2) ∠BAD=180°-100°=80° より、
∠x=180°-(80°+55°)=45°
(3) ∠x=78°×2=156°
(4) ∠CAD=86°-52°=34° より、
∠x=180°-34°×2=112°
(5) △ABC は AB=AC の二等辺三角形だから、
∠ABC=(180°-50°)×1/2=65°
∠x=180°-65°=115°
(6) △OCD は OC=OD の二等辺三角形だから、
∠COD=180°-38°×2=104°
∠x=104°×1/2=52°
∠BCD=180°-112°=68° より、 △BCD において、
∠y=180°-(52°+68°+38°)=22°

Question 13

次の図で、 AT は円の接線であり、 A はその接点である。 ∠x の大きさを求めよ。
［図：円に内接する△ABCがあり、接点Aを通る接線ATが引かれている。∠ACBの大きさが65°で、弦ABと接線ATのなす角がxで示されている。］

Accepted Answer

弦 AB と接線 AT の作る角 ∠x は、その内部にある弧 AB に対する円周角 ∠ACB に等しいので、
∠x=65°

Question 14

次の図において、 x の値を求めよ。ただし、Tは円の接点とする。
(1) ［図：円の内部で2つの弦ABとCDが点Pで交わっている。それぞれの線分の長さは、PA=4、PB=4、PC=8、PD=xである。］
(2) ［図：円の外部にある点Pから2本の割線PABとPDCが引かれており、各線分の長さがPB=x、AB=6、PD=5、CD=3と示されている。］
(3) ［図：円の外部の点Pから、円と2点A、Bで交わる直線と、点Tで接する接線PTが引かれている。線分ABの長さが4、線分PAの長さが6、線分PTの長さがxである。］

Accepted Answer

(1) 4・4=8x 、 x=2
(2) (x+6)・x=5・8,x²+6x-40=0
x0 より、 x=4
(3) 6・10=x²
x0 より、 x=2√15

Question 15

円 C1 は A を中心とした半径 2 の円、円 C2 は B を中心とした半径 5 の円とする。
(1) AB=10 のとき、円 C1 と C2 はどんな位置関係にあるか。また、 AB=6 のとき、 AB=2 のときはどうか。
(2) C1 と C2 が外接するとき線分 AB の長さを求めよ。また、内接するときはどうか。
(3) C1 が C2 に含まれるための、線分 AB の長さの条件を求めよ。

Accepted Answer

(1) AB=10 のときは共有点がない
AB=6 のときは2点で交わる
AB=2 のときは円 C1 が円 C2 に含まれている
［図：半径2の円C1と半径5の円C2が離れて描かれ、2つの中心を結ぶ点線の上に中心間の距離10が書かれている。2円は共有点をもたない。］
(2) 外接のときは AB=7 、内接のときは AB=3 。
［図：半径5の大きい円に、半径2の小さい円が外側から接している場合と内側から接している場合が1つの図に重ねて描かれ、中心を通る点線の上に2、2、5の長さが示されている。］
(3) 線分 AB の長さが、内接するときより短ければよいので、 (0<)AB<3 。

Question 16

次の図で、直線 AB は円 O 、 O' の共通接線で、 A 、 B はその接点である。このとき、点 O' から直線 OA に垂線 O'A' を引き、 △OO'A' を考えることにより、線分 AB の長さを求めよ。
(1) ［図：半径10の円Oと半径5の円O'があり、中心間の距離OO'は13である。共通接線ABに対し、点O'から半径OAに下ろした垂線O'A'と、直角三角形OO'A'が描かれている。］
(2) ［図：中心間距離OO'=15である半径8の円Oと半径4の円O'がある。共通接線ABの接点Aを通る半径OAの延長線上に点O'から垂線O'A'を下ろした直角三角形OO'A'が作られている。］

Accepted Answer

(1) √(13²-(10-5)²)=12
(2) √(15²-(8+4)²)=9

平面図形の練習問題（全16問・解答つき）

問題1内分と外分

問題2角の2等分線の定理

問題3三角形の外角の二等分線と比

問題4重心

問題5内心

問題6内接円の半径と三角形の面積

問題7外心

問題8チェバの定理

問題9メネラウスの定理

問題10円周角の定理

問題11円周角の定理の逆

問題12円に内接する四角形の定理

問題13接弦定理

問題14方べきの定理

問題152円の関係

問題162円と共通接線