整数の基本性質の練習問題

Question 1

(1) 整数 a の倍数の和は a の倍数であることを示せ．
(2) 整数 a の倍数の積は a の倍数であることを示せ．

Accepted Answer

整数 a の倍数は，適当な整数 m,n を用いて， am,an と表すことができる．
このとき，倍数の和は
am+an
=a(m+n)
であり， m+n は整数であるから， a の倍数である．
また，倍数の積は
am・ an
=a・ amn
であり， amn は整数であるから， a の倍数である．

Question 2

次の各組の多項式の最大公約数と最小公倍数を求めよ． ただし，答えの式は展開しなくてもよい．
(1) x²-1,x+1
(2) x²-4x+4,x²-4
(3) x²+2x-3,x²+x-6
(4) x³-27,x²-2x-3

Accepted Answer

(1) x²-1=(x+1)(x-1) なので，
(2) x²-4x+4=(x-2)²,
(3) x²+2x-3=(x-1)(x+3),
(4) x³-27=(x-3)(x²+3x+9),

Question 3

ユークリッドの互除法を証明せよ．

Accepted Answer

なし
例として1071と1029の最大公約数を求めてみよう．
1071を1029で割ると，商は1余りは42，すなわち
1071=1029・1+42
となるので，1071と1029の最大公約数は，1029と42の最大公約数と等しい． ここで得られた，1029と42に関して，再び割り算を行うと
1029=42・24+21
となるので，1029と42の最大公約数は，42と21の最大公約数と等しい．同様にして
42=21・2+0
となるので，42と21の最大公約数は21であることがわかる．すなわち，1071と1029の最大公約数は21である．

Question 4

なし

Accepted Answer

なし

Question 5

素数の性質を証明せよ．

Accepted Answer

a と p の最大公約数は p の約数であるから， 1 または p である．
もし，最大公約数が p ならば， a は p で割り切れる．
もし，最大公約数が 1 ならば，互いに素な数の性質より， b が p で割り切れる．
よって， a,b のうち、少なくとも1つは p で割り切れる．

Question 6

次の数を素因数分解せよ．
(1) (2) 3.

Accepted Answer

なし
上の例題から経験的に次のことがわかる．

Question 7

素数を小さい方から並べると
2,3,5,7,…
である．
(1) 2・3+1,2・3・5+1,2・3・5・7+1 が素数であることを確認せよ．
(2) 素数が無数にあることを示せ．

Accepted Answer

なし

Question 8

方程式 2x+3y=1 を満たす整数解を求めよ．

Accepted Answer

2x+3y=11
を満たす整数解として， x=−1,y=1 がある．つまり
2・(-1)+3・1=12
・より
2{x-(-1)}+3{y-1}=0
⇔2(x+1)+3(y-1)=03
2と3は互いに素であるから，ax+by＝0 の整数解より のすべての整数解は
x+1=3k,y−1=−2k（kは整数） と表せる．
よって， のすべての整数解は
x=3k−1,y=−2k+1（kは整数）
となる．
なし

Question 9

次の方程式の整数解をすべて求めよ．
(1) 2.

Accepted Answer

2x+3y=11
を満たす整数解として， x=−1,y=1 がある．つまり
2・(-1)+3・1=12
・より
2{x-(-1)}+3{y-1}=0
⇔2(x+1)+3(y-1)=03
2と3は互いに素であるから，ax+by＝0 の整数解より のすべての整数解は
x+1=3k,y−1=−2k（kは整数） と表せる．
よって， のすべての整数解は
x=3k−1,y=−2k+1（kは整数）
となる．
なし

整数の基本性質の練習問題（全9問・解答つき）

問題1倍数の和と積

問題2最大公約数と最小公倍数

問題3ユークリッドの互除法の利用

問題4素因数分解

問題5 $ax+by=1$ の整数解

覚えておきたい事項（4問）

暗記1ユークリッドの互除法

暗記2素数の性質

暗記3素数が無数にあることの証明

暗記4 $ax+by=1$ の整数解