いろいろな数の練習問題（全5問・解答つき）

√2 が有理数であると仮定する。つまり √2=a/b と表される「既約（きやく）分数である」と仮定する。ただし、a は整数、b は 0 でない整数である。

この両辺を2乗すると 2=a²/b² ∴2b²=a²1 ここで、左辺は 2 の倍数なので、右辺 a² も 2 の倍数である。したがって、a も 2 の倍数である。

そこで、 a=2a' （ a' は整数）とおくと、 は 2b²=(2a')² ⇔ 2b²=4a'² ∴b²=2a'² ここで、右辺は 2 の倍数なので、左辺 b² も 2 の倍数となり、b も 2 の倍数となる。しかし、そうすると、a、b がともに 2 の倍数ということになり、最初の「既約分数である」という仮定に矛盾する。したがって、√2 は有理数ではない。

この例題からわかるように、数直線上の点として表されるような値でも、有理数ではない数が存在する。そして、その数を無理数 (irrational number) という。

絶対値の中身が「0 以上か」「負か」で、絶対値の外れ方が違ってくるので、場合に分けて証明する。

1. • a) a≧0 のとき、 |a|=a であるから （左辺）=|a|²=a²=（右辺）
   • b) a<0 のとき、 |a|=-a であるから （左辺）=|a|²=(-a)² =a²=（右辺）

   以上a)、b)より、 |a|²=a² が成り立つ。

2. 右欄外の表のように、4つの場合に分けて考える。

   • 1. a≧0、 b≧0 のとき

     ab≧0、 |a|=a、 |b|=b であるから （左辺）=|ab|=ab （右辺）=|a||b|=ab となり成立。

   • 2. a≧0、 b<0 のとき

     ab≦0、 |a|=a、 |b|=-b であるから （左辺）=|ab|=-ab （右辺）=|a||b|=a(-b)=-ab となり成立。

   • 3. ii)の証明において、a と b を入れ替えればiii)の証明になっているので、成立する。
   • 4. a<0、 b<0 のとき

     ab>0、 |a|=-a、 |b|=-b であるから （左辺）=|ab|=ab （右辺）=|a||b|=(-a)(-b)=ab

   以上より、いずれの場合も |ab|=|a||b| が成り立つ。

3. まず、 |1/b|=1/|b|1 であることを示す。

   • a) b>0 のとき

     1/b>0、 |b|=b であるから (の左辺）=|1/b|=1/b (の右辺）=1/|b|=1/b となり成立。

   • b) b<0 のとき

     1/b<0、 |b|=-b であるから (の左辺）=|1/b|=-1/b (の右辺）=1/|b|=1/(-b)=-1/b となり成立。

   以上a)、b)より が成立。これより |a/b|=|a・1/b| =|a||1/b| =|a|1/|b| =|a|/|b| となり、 |a/b|=|a|/|b| が成り立つ。