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図形の面積比・体積比の練習問題（全3問・解答つき）

数学I「図形の面積比・体積比」（平面図形・空間図形の計量）の練習問題を3問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます

問題1相似な図形の相似比

右の図において、 、 であるとする。

  1. 相似な三角形の組を2つ見つけ、それぞれについて面積の比を求めよ。
  2. と の面積比を求めよ。
△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、線分DEが引かれている。さらに、頂点Bと点E、頂点Cと点Dを結ぶ2本の線分BE、CDが交わっており、その交点をFとする。
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  1. と について、 、 は共通であるので、 である。

    相似比が のとき、面積比は

    相似比は なので、面積比は である。

    また、 より なので 。これより、 である。

    相似比は なので、面積比は である。

  2. の面積を とおくと、1より である。また

    • より
    • より

    であるので、四角形 。

    ここで、1より より

    四角形

    となるので、 。

    よって、 と の面積比は である。

問題2相似比と面積比・体積比

右図のような円錐 を切り、上にできた円錐を とする。

  1. と は相似である。相似比を求めよ。
  2. と の表面積比を求めよ。
  3. から を除いた図形を とする。 と の体積比を求めよ。
大きな円錐Tの上部に、グレーで塗られた小さな円錐Sがある。母線の長さの比は、Sの母線が3、残りの円錐台部分の母線が2となっている。
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  1. 母線の長さの比から、
  2. 1より、表面積比は
  3. 1より、 と の体積比は つまり、 と の体積比は

問題3空間図形の表面積比と体積比

正四面体のそれぞれの辺の中点を結ぶと、正八面体ができる。このとき、つぎの問に答えよ。

  1. この正四面体と正八面体の表面積比を求めよ。
  2. この正四面体と正八面体の体積比を求めよ。
頂点をA、B、C、Dとする正四面体の各辺の中点に黒点が打たれており、それら6つの点同士を結ぶことで、正四面体の内部に1つの正八面体ができている。
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  1. まず、正四面体の1つの面も、正八面体の1つの面も正三角形であり、互いに相似である。相似比は であるから、面積比は である。

    正四面体の1つの面の面積を とすると、正四面体の表面積は 、正八面体の表面積は である。

    よって、求める比は である。

  2. 正八面体は、もとの正四面体から4つの小さい正四面体を除いたものである。

    もとの正四面体と小さい正四面体の相似比は だから、体積比は 、つまり、正四面体の体積を とすると小さい正四面体の体積は 。よって、正八面体の体積は となり、求める比は である。