数学I 第7章本文の補足 I — 開平法について

開平法について

例として、 $\sqrt823.69$ の値を開平法で計算する。

$823.69$ を根号の中に書き、「小数点を基準」にして「2桁ずつ」区切っていく。また、横にスペースをとっておく。
一番左の数は $8$ 。2乗して $8$ を超えない最大の1桁の整数 $2$ を、上の図のように3ヶ所に書く。
$(2\times2=)2²=4$ を $8$ の下に書き、 $8$ から $4$ を引く。そして、 $23$ を下に下ろす。

また、その横で $2+2=4$ を計算する。
「 $4［?］$ 」に「 $［?］$ 」を掛けて「 $423$ 」を超えない、最大の1桁の整数 $［?］$ を求める。 $48\times8=384≦423<49\times9=441$ であるので、 $［?］$ は $8$ 。これを3ヶ所に書き込む。
$48\times8$ の結果 $384$ を $423$ の下に書き、 $423$ から引く。そして、 $69$ を下に下ろす。さらに、小数点を打つ。

また、 $48+8$ を横で計算しておく。

小数点は、根号の中の小数点より下の最初の区切り（ここでは $69$ ）を下ろすときに打つ。そのため、答えの整数部分の桁数は、根号の中の整数部分の区切りの個数（ここでは $8$ と $23$ の2つ）と同じになる。
「 $56［?］$ 」に「 $［?］$ 」を掛けて「 $3969$ 」を超えない、最大の1桁の整数 $［?］$ を求める。 $567\times7=3969≦3969<568\times8$ より $［?］$ は $7$ であり、 $3969-567\times7=0$ なので計算は完了。 $\sqrt823.69=28.7$ とわかる。

（下ろす数字が無くなったときは、小数点以下に $00$ を書き足して下ろしていけばよい。いつまでも $0$ が現れないときは、計算を繰り返すことでより精密な近似値を求めることができる。）

「開平」とは「ある数の平方根を求めること」であり、「開平法 (extraction of square root)」とは、その「開平」を筆算のような計算で求める方法である。いずれも和算の時代から使われた用語であり、開平法は古くからそろばんによって用いられていた。

開平法の計算は、化学や物理において必要とされることがある。

なぜ、上で見た開平法によって平方根が求められるのか、その仕組みを下に図で示しておく（途中の計算式の中に、実際の計算のときには必要のない数字があるので注意すること）。余裕のある人は、各自で考えてみよう。

$\sqrt153664$ 、 $\sqrt1.1236$ 、 $\sqrt13$ 、 $\sqrt9.8$ の値を開平法によって計算せよ（無限に続く場合は、四捨五入によって上から3桁まで計算せよ）。

解答を見る

開平法によって、下のように計算できて $\sqrt153664=392$
開平法によって、下のように計算できて $\sqrt1.1236=1.06$

$△$ 下のように、 $0$ を引く部分を省略しても構わない。ただし、補助の計算から $0$ を省略してはいけない。
開平法によって、下のように計算できて $\sqrt13=3.605\dots ≒3.61$

$△$ 下のように、 $0$ を引く部分を省略しても構わない。ただし、補助の計算から $0$ を省略してはいけない。
開平法によって、下のように計算できて $\sqrt9.8=3.130\dots ≒3.13$

$△$ $9.8$ とは、物理で重要となる「重力加速度 $(m/s²)$ 」の近似値である。余談になるが、この答えは $π$ に近い値である。