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資源配分（配分先に区別が無い場合）の練習問題（全4問・解答つき）

数学A「資源配分（配分先に区別が無い場合）」（場合の数）の練習問題を4問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。

印刷すると、開いている解答だけが一緒に刷られます

問題1資源配分(配分先に区別が無い場合)の計算練習

次の値を求めよ．

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  1. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」であり，これは次の図のような 通りである．
  2. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
  3. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
  4. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない4個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．
  5. 求めるのは「区別しない5個のボールを，区別しない5個の箱に最低1個は配る場合の数」 であり，これは次の図のような 通りである．

問題2資源配分 (配分先に区別が無い場合)

区別しない9個のボールを，区別しない3つの箱に配る場合について，どの箱にも最低1個はボールを配るとして，その配り方には何通りの方法があるか求めよ．

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まず，ボールを区別せず，箱を区別する(a箱，b箱，c箱と名付ける) 場合について考える．

このとき，9個のボールを3つの箱に分ける方法は，並べた9個のボールの“すきま”8ヶ所に“しきり”を2ヶ所いれ，左から順にa箱，b箱，c箱に入れるボールの数と対応させればよい． つまり， 通りある．

横一列に並べられた9個の丸いボールと、それらのボールの間にある8箇所のすきまをそれぞれ下から指し示す、8本の上向きの矢印が並んでいる。

a箱，b箱，c箱にはいるボールの数がそれぞれ のとき， と表す．

  1. 28通りのうち3つの箱とも入るボールの数が等しくなるのは
  2. a箱，b箱に入るボールの数が等しいのは，3箱とも入るボールの数が同じ場合を除くと
  3. 3つの箱に入るボールの数がばらばらであるのは， 通り．

7通りの内訳は次のようになる．

1から7の番号ごとに、3つの箱に入るボールの数が描かれている。その個数は順に、1が1・1・7、2が1・2・6、3が1・3・5、4が1・4・4、5が2・2・5、6が2・3・4、7が3・3・3である。

問題3★資源配分 (配分先に区別が無い場合)

を正の整数とし， 個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える．ただし，1個のボールも入らない箱があってもよいものとする．

  1. 互いに区別のつかないボールを，A，B，Cと区別された3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか．
  2. が6の倍数 ( は自然数)であるとき， 個の互いに区別のつかないボールを，区別のつかない3つの箱に入れる場合，その入れ方は全部で何通りあるか． を用いて表せ．
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  1. Aに 個，Bに 個，Cに 個入れるとして
    1. の 通りのうち

問題4資源配分(配分先に区別が無い場合)の和

資源配分 (配分先に区別が無い場合)の例題において． 空の箱があってもよいとすると，何通りの配り方があるか求めよ．

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資源配分 (配分先に区別が無い場合)の解答より，

空の箱が1つも無い場合には7通りであった．

2つの箱が空箱になるのは，1通り． 1つの箱が空箱になるのは(数えて)4通り．よって

通り

この例題からわかるように，空の箱があってもよい場合のボール の配り方は， の和となる． ボールと箱のモデルでまとめると，次のようになる．