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数学A 第1章 場合の数 — 残りの体系

残りの体系について

ボールと箱のモデル9

ここでは，ボールと箱のモデルにおける体系の最後として， 下表で空欄になっている部分（「あり・なし」「なし・なし」の行の「単射」の欄），つまり

「区別する 個のボールを，区別しない 個の箱に高々1個配る場合の数」

と

「区別しない 個のボールを，区別しない 個の箱に高々1個配る場合の数」

について考えてみよう．

ボール・箱 単射 写像全て 全射
あり・あり 順列 重複順列 部屋割り
なし・あり 組合せ 重複組合せ 資源配分
あり・なし （右枠の和） 部屋割り（区別なし）
なし・なし （右枠の和） 資源配分（区別なし）

実はこれらは非常に単純で， の場合に1通りとなるだけである． 箱に区別が無いので，どのボールがどの箱に入ったかという違いは残らず， どの配り方も「ボールの入った箱が 個，空の箱が 個ある」という同じ形になってしまうからである． 例えば，区別する3個のボールを区別しない5個の箱に高々1個配る場合の数は

横に並んだ5つの四角い箱のうち、左側の3つの箱にはそれぞれ1、2、3の番号がついたボールが1個ずつ入っており、右側の2つの箱は空である。

の1通りしかない．

同じようにボールを区別しない場合でも

横一列に並んだ5つの正方形の箱のうち、左から3つの箱にはそれぞれボールが1つずつ入っており、右側の2つの箱は空になっている。

の1通りしかない．

また， の場合には，すべての箱に1つずつボールを配っても，ボールが余ってしまうので0通りとする．

以上で，上の表で空欄になっていた「単射」の2つの欄も， のとき1通り， のとき0通り，と埋まった． これでボールと箱のモデルの体系はすべて出そろったことになる．

最終更新: 2026-08-12

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