乗法定理と独立事象の練習問題（全5問・解答つき）

事象 A,B を

A ：「甲が当る」

B ：「乙が当る」

とおく。

1. 甲が当った状況では、くじは9本残っていて、その中に当りくじは3本あるから

   PA(B)=3/9=1/3

2. 求める確率は P(A∩B) である。

   P(A∩B)=P(A)・ PA(B) =4/10・1/3=2/15

3. 乙が当るのは、甲が当って乙も当る場合と、甲がはずれて乙が当る場合のどちらかであり、この2つは互いに排反である。

   甲が当り、乙が当るのは2. より 2/15 である。また、甲がはずれて、乙が当るのは P(A∩B)=P(A)・ PA(B) =6/10・4/9=4/15

   よって、 2/15+4/15=2/5 となる。

   《別解：標本空間を乙の引くくじにとる》

   乙の引きうるくじは10通りあり、これらは同様に確からしい。 このうち当りくじは4本あるので、乙が当りくじを引く確率は

   4/10=2/5

1. 2回目に取り出す球だけに着目すると、その取り出し方には 4+3=7 通りあり、これらはどれも同様に確からしい。

   よって、2回目に白球を取り出す確率 P(B) は

   △ 2回目に取り出す球のみで標本空間を作っていることに注意しよう

   P(B)=4/7

   また、1回目に白球を取り出したという条件の下、2回目に白球を取り出す確率 PA(B) は

   PA(B)=3/6=1/2

   以上より、 PA(B)≠ P(B) なので、事象 A と B は独立ではない。

   《別解：独立事象の乗法定理を使う》

   2回目に白球を取り出すには、次の2つの場合があり、これらは排反である。

   1. 1回目に白球を取り出し、2回目に白球を取り出す
   2. 1回目に赤球を取り出し、2回目に白球を取り出す

   まず、1回目に白球を取り出す場合の確率は

   4/7・3/6=2/7

   次に、1回目に赤球を取り出す場合の確率は

   3/7・4/6=2/7

   よって、 P(B) は

   P(B)=2/7+2/7=4/7

   また、1回目に白球を取り出した条件の下、2回目に白球を取り出す確率 PA(B) は

   PA(B)=3/6=1/2

   以上より、 PA(B)≠ P(B) なので、事象 A と B は独立ではない。

2. 取り出した球は袋に戻すので、2回目に取り出すときも袋の中は白球4個、赤球3個のままである。よって、1回目に白球を取り出したという条件の下、2回目に白球を取り出す確率 PA(B) は

   PA(B)=4/7

   また、1. と同じように2回目に取り出す球だけに着目すると、 P(B)=4/7 である。

   以上より、 PA(B)=P(B) なので、事象 A と B は独立である。

3. 52枚のうち、ハートは13枚、エースは4枚、ハートのエースは1枚であるから

   P(A)=13/52, P(B)=4/52, P(A∩B)=1/52

   である。ここで

   P(A)P(B)=13/52・4/52=1/52=P(A∩B)

   となるので、事象 A と B は独立である。

4. 53枚のうち、ハートは13枚、エースは4枚、ハートのエースは1枚であるから

   P(A)=13/53, P(B)=4/53, P(A∩B)=1/53

   である。ここで

   P(A)P(B)=13/53・4/53=52/2809, P(A∩B)=1/53=53/2809

   となり、 P(A)P(B)≠ P(A∩B) なので、事象 A と B は独立ではない。

以上より、独立であるのは2. と 3.である。

1. 6題それぞれについて、間違う確率は 1/2 だから、求める確率は (1/2)⁶=1/64 となる。

2. 6題のうち3題を何題目で間違うかには 6C3 通りの場合があるから

   6C3(1/2)³(1/2)³=5/16

3. 「少なくとも2題が正解である」の余事象は「全部の解答が間違っているか、または1題だけが正解である」である。 全部の解答が間違っている確率は1. で求めたので、1題だけが正解である確率を以下で求める。

   6題のうち1題を何題目で正解するかは 6C1 通りの場合があるから

   6C1(1/2)¹(1/2)⁵=3/32

   よって、求める確率は

   1-(1/64+3/32)=57/64