乗法定理と独立事象の練習問題（全5問・解答つき）

事象 A,B を

A ：「甲が当る」

B ：「乙が当る」

とおく．

1. 甲が当った状況では，くじは9本残っていて，その中に当りくじは3本あるから

2. 求める確率は P(A∩B) である．

3. 甲が当り，乙が当るのは2. より 2/15 である．また，甲がはずれて，乙が当るのは P(A∩B)=P(A)・ PA(B) =6/10・4/9=4/15

   乗法定理

   よって， 2/15+4/15=2/5 となる．

   《別解：標本空間を乙の引くくじにとる》

   乙の引きうるくじは10通りあり，これらは同様に確からしい． このうち当りくじは4本あるので，乙が当りくじを引く確率は

   4/10=2/5

1. 2回目に取り出す球だけに着目すると，その取り出し方には 4+3=7 通りあり，これらはどれも同様に確からしい．

さいころを5回投げて2回だけ1の目が出るのは，表のように

5C2=10通り

あり，これらの事象 A1,A2,…,A10 は 互いに排反であるので， P2 を求めるには A1,A2,…,A10 の確率をそれぞれ計算してそれらの和を求めればよい．

表で ○ は1の目が出ることを表し、 × は1以外の目が出ることを表している.

事象回12345 A1○○××× A2○×○×× A3○××○× A4○×××○ A5×○○×× A6×○×○× A7×○××○ A8××○○× A9××○×○ A10×××○○

今， A1 の起こる確率 P(A1) は，各回の試行が独立であるから

P(A1)=1/6・1/6・5/6・5/6・5/6=(1/6)²(5/6)³

となる．

他の事象 A2,A3,…,A10 の起こる確率もそれぞれ (1/6)²(5/6)³ となるので，求める確率 P2 は

P2=5C2(1/6)²(5/6)³=625/3888

となる．

上記の例題において，1の目の出る回数 x は x=0,1,2,3,4,5 のいずれかである．1の目が x 回出る確率を Px で表すと， P2 以外も P2 と同様に考えて

P0=5C0(5/6)⁵ P1=5C1(1/6)¹(5/6)⁴ P2=5C2(1/6)²(5/6)³ P3=5C3(1/6)³(5/6)² P4=5C4(1/6)⁴(5/6)¹ P5=5C5(1/6)⁵

となり，一般に次のことがいえるのがわかる．

1. 6題それぞれについて，間違う確率は 1/2 だから，求める確率は (1/2)⁶=1/64 となる．
2. 6題のうち3題を何題目で間違うかには 6C3 通りの場合があるから
3. 「少なくとも2題が正解である」の余事象は「全部の解答が間違っているか，または1題だけが正解である」である． 全部の解答が間違っている確率は1. で求めたので，1題だけが正解である確率を以下で求める．