式の計算の練習問題

Question 1

次の単項式について、[ ]内の文字に着目したときの次数と係数を答えよ。
(1) 3x⁴y⁵ [x]、[y]、[xとy]
(2) 2abxy² [x]、[y]、[xとy]

Accepted Answer

(1) 1. x に着目すると、次数は 4、係数は 3y⁵ である。
(2) y に着目すると、次数は 5、係数は 3x⁴ である。
(3) x と y に着目すると、次数は 9、係数は 3 である。
(2) 1. x に着目すると、次数は 1、係数は 2aby² である。
(2) y に着目すると、次数は 2、係数は 2abx である。
(3) x と y に着目すると、次数は 3、係数は 2ab である。

Question 2

次の多項式を同類項でまとめよ。また、[]内の文字に着目したとき何次式か。
(1) x³+xy²-3xy² [x]、[y]
(2) x⁴+(a²-a)x³y+2bxy² +ax³y-4bxy² [x]、[y]

Accepted Answer

(1) 同類項でまとめると
x³+xy²-3xy²=x³-2xy²
(1) x に着目すると、項 x³ の次数は 3、項 2xy² の次数は 1 であるから、
3次式
である。
(2) y に着目すると項 x³ の次数は 0 （定数項）、項 -2xy² の次数は 2 であるから、
2次式
である。
(2) 同類項でまとめると
x⁴+(a²-a)x³y
+2bxy²+ax³y-4bxy²
=x⁴+(a²-a+a)x³y+(2-4)bxy²
=x⁴+a²x³y-2bxy²
(1) x に着目すると項 x⁴ の次数は 4、項 a²x³y の次数は 3、項 -2bxy² の次数は 1 であるから、
4次式
である。
(2) y に着目すると項 x⁴ の次数は 0、項 a²x³y の次数は 1、項 -2bxy² の次数は 2 であるから、
2次式
である。

Question 3

次の多項式を x について降べきの順に整理し、各項の係数をいえ。
(1) 3x²-12xy+4+3x²-2x+5
(2) 2x²+2y²-3xy+4y²+2xy-x²

Accepted Answer

(1) まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。
3x²-12xy+4+3x²-2x+5
=(3+3)x²+(-12y-2)x+(4+5)
=6x²+(-12y-2)x+9
これより、x² の係数は 6、x の係数は -12y-2、定数項は 9 である。
(2) まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。
2x²+2y²-3xy+4y²+2xy-x²
=(2-1)x²+(2-3)xy+(2+4)y²
=x²-xy+6y²
これより、x² の係数は 1、x の係数は -y、定数項は 6y² である。

Question 4

A=3x²-2x+1、B=2x²+7x-3 のとき、次の式を計算せよ。
(1) A+B
(2) A-B

Accepted Answer

(1) A+B=(3x²-2x+1)
+(2x²+7x-3)
=3x²-2x+1+2x²+7x-3
=(3+2)x² +(-2+7)x+(1-3)
=5x²+5x-2
(2) A-B=(3x²-2x+1)
-(2x²+7x-3)
=3x²-2x+1-2x²-7x+3
=(3-2)x² +(-2-7)x+(1+3)
=x²-9x+4
上の計算は、同類項を縦にそろえて並べ、次のようにもできる。
［図：多項式の筆算による加法と減法の計算が書かれている。i) は 3x²-2x+1 と 2x²+7x-3 の足し算で答えは 5x²+5x-2、ii) は同じ2式の引き算で答えは x²-9x+4 である。］

Question 5

次の式を計算して簡単にせよ。
(1) x²×x³
(2) (x²)³
(3) (x³)⁵
(4) (xy²)³

Accepted Answer

(1) x²×x³=x^2+3=x⁵
(2) (x²)³=x^2×3=x⁶
(3) (x³)⁵=x^3×5=x¹⁵
(4) (xy²)³=x³(y²)³=x³y⁶

Question 6

次の式を展開せよ。
(1) (x+3)(2x+1)
(2) (4x-1)(2x+3)
(3) (x+4)(2x²-8x+5)
(4) (3x-x²)(5x²-2x+1)

Accepted Answer

(1) (x+3)(2x+1) =2x²+x+6x+3
=2x²+7x+3
(2) (4x-1)(2x+3) =8x²+12x-2x-3
=8x²+10x-3
(3) (x+4)(2x²-8x+5)
=2x³-8x²+5x+8x²-32x+20
=2x³-27x+20
(4) (3x-x²)(5x²-2x+1)
=15x³-6x²+3x-5x⁴+2x³-x²
=-5x⁴+17x³-7x²+3x

Question 7

次の多項式を展開し整理せよ。
(1) (x+2)(2x+1)
(2) (2x+3)(3x-2)
(3) (5x-3y)(2x-y)
(4) ((1/3)x-2y)(2x-(1/2)y)

Accepted Answer

(1) (x+2)(2x+1)=2x²+5x+2
(2) (2x+3)(3x-2)=6x²+5x-6
(3) (5x-3y)(2x-y)
=10x²-11xy+3y²
(4) ((1/3)x-2y)(2x-(1/2)y)
=(2/3)x²+(-1/6-4)xy+y²
=(2/3)x²-(25/6)xy+y²

Question 8

次の多項式を展開し整理せよ。
(1) (2x+1)³
(2) (3a-2)³
(3) (x+2)(x²-2x+4)
(4) (ab-3)(a²b²+3ab+9)

Accepted Answer

(1) (2x+1)³
=(2x)³+3・(2x)²・1
+3・(2x)・1²+1³
=8x³+12x²+6x+1
(2) (3a-2)³
=(3a)³+3・(3a)²・(-2)
+3・(3a)・(-2)²+(-2)³
=27a³-54a²+36a-8
(3) (x+2)(x²-2x+4)
=x³+2³=x³+8
(4) (ab-3)(a²b²+3ab+9)
=(ab)³-3³=a³b³-27

Question 9

次の式を展開し整理せよ。
(1) ((1/2)x+(1/3)y)²
(2) (3a-(1/2)b)²
(3) (2x-5y)(2x+5y)
(4) (-2ab+3c)(2ab+3c)
(5) (x+5)(x-8)
(6) (a²-3)(a²+7)
(7) (2x+1)(x-3)
(8) (3a-2)(4a+1)
(9) (x-3)³
(10) (2x+4y)³
(11) (2x-5)(4x²+10x+25)
(12) (p+q)(3p²-3pq+3q²)

Accepted Answer

(1) ((1/2)x+(1/3)y)²=x²/4+xy/3+y²/9
（注） 平方の公式参照
(2) (3a-(1/2)b)²=9a²-3ab+(1/4)b²
（注） 平方の公式参照
(3) (2x-5y)(2x+5y)=4x²-25y²
（注） 和と差の積の公式参照
(4) (-2ab+3c)(2ab+3c)
=(3c-2ab)(3c+2ab)
=9c²-4a²b²
（注） 公式を使えるよう足す順番を変更
(5) (x+5)(x-8)=x²-3x-40
（注） 1次式の積参照
(6) (a²-3)(a²+7)=a⁴+4a²-21
（注） 1次式の積参照
(7) (2x+1)(x-3)=2x²-5x-3
（注） 1次式の積参照
(8) (3a-2)(4a+1)=12a²-5a-2
（注） 1次式の積の公式参照
(9) (x-3)³=x³-9x²+27x-27
（注） 立方の公式1参照
(10) (2x+4y)³
=2³・(x+2y)³
（注） 指数法則3.参照
=8(x³+6x²y+12xy²+8y³)
（注） 立方の公式1参照
=8x³+48x²y+96xy²+64y³
(11) (2x-5)(4x²+10x+25)
=8x³-125
（注） 立方の公式2参照
(12) (p+q)(3p²-3pq+3q²) =3(p+q)(p²-pq+q²)
=3(p³+q³)
（注） 公式を使えるようにした
=3p³+3q³
（注） 立方の公式2参照

Question 10

次の式を展開し整理せよ。
(1) (3a-b+3c)²
(2) (a²+a-1)²
(3) (x+y+z)(x+y-z)
(4) (2a-b+c)(2a+b+c)

Accepted Answer

(1) (3a-b+3c)²
=9a²+b²+9c²-6ab-6bc+18ca
（注） 3項の平方の公式参照
(2) (a²+a-1)²
=(a²)²+a²+(-1)²+2・ a²・ a
+2・ a・(-1)+2・(-1)・ a²
（注） 3項の平方の公式参照
=a⁴+2a³-a²-2a+1
(3) (x+y) が共通していることに注意して
(x+y+z)(x+y-z)
=(x+y)²-z²
（注） 和と差の積の公式参照
=x²+2xy+y²-z²
（注） 平方の公式参照
(4) (2a+c) が共通していることに注意して
(2a-b+c)(2a+b+c)
=(2a+c)²-b²
（注） 和と差の積の公式参照
=4a²+4ac+c²-b²
（注） 平方の公式参照

Question 11

次の式を展開し整理せよ。
(1) (x+1)(x-1)(x²+1)
(2) (a-2)(a+2)(a²+4)(a⁴+16)
(3) (x-1)(x-3)(x+3)(x+1)
(4) (a-1)(a-2)(a²-3a)

Accepted Answer

(1) まずは (x+1)(x-1) から計算する。
(x+1)(x-1)(x²+1)
（注） 和と差の積の公式参照
=(x²-1)(x²+1)
（注） 和と差の積の公式参照
=x⁴-1
(2) まず、(a-2)(a+2) から計算をはじめる。
(a-2)(a+2)(a²+4)(a⁴+16)
=(a²-4)(a²+4)(a⁴+16)
（注） 和と差の積の公式参照
=(a⁴-16)(a⁴+16)
（注） 和と差の積の公式参照
=a⁸-256
（注） 和と差の積の公式参照
(3) x-1 と x+1 の積を計算し、(x-3) と (x+3) の積を計算し、最後にこの両者の積を計算する。
(x-1)(x-3)(x+3)(x+1)
=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)
=(x²-1)(x²-9)
（注） 和と差の積の公式参照
=x⁴-10x²+9
（注） 1次式の積の公式参照
(4) (a-1)(a-2)(a²-3a)
=(a²-3a+2)(a²-3a)
=(a²-3a)²+2(a²-3a)
（注） a²-3a が共通している
=a⁴-6a³+9a²+2a²-6a
（注） a²-3a を A とおくと、
(A+2)A=A²+2A となるため
=a⁴-6a³+11a²-6a

Question 12

次の式を因数分解せよ。
(1) a⁴-2a
(2) 6a²b+4ab²-2ab
(3) p(2x-y)+q(y-2x)
(4) 3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x)

Accepted Answer

(1) a⁴ と -2a の共通因数は a であるから
a⁴-2a
=a(a³-2)
（注） 共通因数 a をくくり出す
a³-2 aa⁴-2a
(2) 6a²b と 4ab² と -2ab の共通因数は 2ab であるから
6a²b+4ab²-2ab
=2ab(3a+2b-1)
（注） 共通因数である 2ab をくくり出す
3a2b-1 2ab6a²b4ab²-2ab
(3) y-2x=-(2x-y) であるから 2x-y が共通因数となる。
p(2x-y)+q(y-2x)
=p(2x-y)-q(2x-y)
=(p-q)(2x-y)
（注） 共通因数である 2x-y でくくる
p-q 2x-yp(2x-y)-q(2x-y)
(4) y-x=-(x-y) であるから x-y が共通因数となる。
3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x)
=3a(x-y)+6b(x-y)-9c(x-y)
=3(x-y)(a+2b-3c)
（注） 共通因数である 3(x-y) でくくる
a2b-3c 3(x-y)3a(x-y)6b(x-y)-9c(x-y)

Question 13

次の式を因数分解せよ。
(1) x²+6x+9
(2) 4x²-12xy+9y²
(3) a⁴+4a²+4

Accepted Answer

(1) x²+6x+9
=x²+2・3x+3²
=(x+3)²
x3 xx²3x
33x9
(2) 4x²-12xy+9y²
=(2x)²-2・(2x)(3y)+(3y)²
=(2x-3y)²
2x-3y 2x4x²-6xy
-3y-6xy9y²
(3) a²=A とおくと、a⁴=A² であるので、
a⁴+4a²+4
=A²+4A+4
=(A+2)²
=(a²+2)²
（注） 慣れればおきかえずにできる
a²2 a²a⁴2a²
22a²4
因数分解後の式は、「展開」してみると因数分解前の式と同じになるので、 自分の実行した因数分解が正しいかどうかは、展開することによって確認できる。 少し面倒だが、因数分解した後には、かならず展開して確認するようにしよう。 まちがった因数分解をしても何にもならないのだから。

Question 14

次の2重根号をはずせ。
(1) √(9-2√14)
(2) √(7+4√3)
(3) √(3-√5)

Accepted Answer

(1) √(9-2√14)
=√(√7-√2)²
（注） 足して9、掛けて14になる数を探す
(○-△)² を作るときは、○△を満たすように作るとよい。
=√7-√2
(2) √(7+4√3)
=√(7+2√12)
（注） まず √○±2√△の形になおし、
変形ができるようにする。
=√(√4+√3)²
（注） 平方の形にした
（足して 7、掛けて 12 になる数を探す)
=√4+√3
（注） 2重根号をはずした
=2+√3
(3) √(3-√5)
=√(3-√5)×√2/√2
（注） 内側の √の前に 2 が無くても、分母・
分子に √2 を掛けて 2√の形を作る
=√(6-2√5)/√2
=√(√5-√1)²/√2
（注） 足して 6、掛けて 5 になる数を探す。
(○-△)² を作るときは、
○△を満たすように作るとよい。
=(√5-1)/√2=(√10-√2)/2
（注） 最後は分母を有理化しておく

Question 15

次の式を因数分解せよ。
(1) a²-9
(2) 4x²-25y²
(3) a⁴-1
(4) (a-b)²-c²

Accepted Answer

(1) a²-9 =a²-3²
=(a+3)(a-3)
a-3 aa²-3a
33a-9
(2) 4x²-25y² =(2x)²-(5y)²
=(2x+5y)(2x-5y)
2x-5y 2x4x²-10xy
5y10xy-25y²
(3) a²=A とおくと、a⁴=A² であるので、
（注） 慣れれば A を使わずにできる
a⁴-1 =A²-1²
=(A+1)(A-1)
=(a²+1)(a²-1)
（注） a²-1 はまだ分解できる
=(a²+1)(a+1)(a-1)
(4) a-b=X とおけば、
（注） 慣れれば X を使わずにできる
(a-b)²-c²
=X²-c²
=(X+c)(X-c)
=(a-b+c)(a-b-c)
おきかえずに計算すると、次のようになる。
(a-b)²-c² ={(a-b)+c}{(a-b)-c}
=(a-b+c)(a-b-c)
a-b-c a-b(a-b)²-(a-b)c
c(a-b)c-c²
○²-△²の形を見たら因数分解、とすぐに気付けるようになろう。

Question 16

次の式を因数分解せよ。
(1) x²+10x+21
(2) x²-6x+8
(3) a²+3ab-18b²
(4) a²-4a-32

Accepted Answer

(1) x²+10x+21
=x²+(3+7)x+3・7
=(x+3)(x+7)
（注） 下の表には、因数分解するときに作られるであろう表の例(一部)を載せてある。
×x21 xx²21x 1x21
○x7 xx²7x 33x21
(2) x²-6x+8
=x²+(-2-4)x+(-2)(-4)
=(x-2)(x-4)
×x-8 xx²-8x -1-x8
○x-4 xx²-4x -2-2x8
(3) a²+3ab-18b²
=a²+(-3b+6b)a+(-3b)(6b)
=(a-3b)(a+6b)
×a18b aa²18ab -b-ab-18b²
×a9b aa²9ab -2b-2ab-18b²
○a6b aa²6ab -3b-3ab-18b²
(4) a²-4a-32
=a²+(4-8)a+4・(-8)
=(a+4)(a-8)
○a-8 aa²-8a 44a-32
次に、少し難しい例として 3x²+11x+6 の因数分解を考えてみよう。
STEP1
展開して 3x²+11x+6 になる1次式の積を考えるため、まず次のように表を書く。さきほどと同じように、表のます目の中には、x² の項と定数項を斜めに書いておく。
3x² 6
STEP2
3x² を分解すると x×3x になり、6 を分解すると 1×6 または 2×3 になることから、次の4つの表を作る（6 の分解には、(-1)×(-6) や (-2)×(-3) なども考えられる。しかし、やはりさきほどと同じように、x の係数が正の数 11 なので、この因数分解ではその可能性はない）
3x6 x3x² 16
3x3 x3x² 26
3x2 x3x² 36
3x1 x3x² 66
STEP3
表の残りの部分を埋めることにより、新しくできた右の太字の式を加えて、x の係数が 11 になっているものを選び、それを利用して因数分解すれば完成である。
×3x6 x3x²6x 13x6
×3x3 x3x²3x 26x6
○3x2 x3x²2x 39x6
×3x1 x3x²x 618x6
3x²+11x+6=(x+3)(3x+2)
上では説明の都合上、少々多めに表を作ったが、慣れてくると正解の表を一発でかけるようになる。初めのうちは試行錯誤して、コツをつかむことが大切である。

Question 17

次の式を因数分解せよ。
(1) 2x²+3x+1
(2) 5a²+7ab+2b²
(3) 8x²-10xy+3y²
(4) 12a²+7a-12

Accepted Answer

（注） 因数分解するときに作られるであろう、たすきがけの例（の一部）を載せておく。
(1) 2x²+3x+1
=2x²+(2+1)x+1
=(x+1)(2x+1)
○2x1 x2x²x 12x1
(2) 5a²+7ab+2b²
=5a²+(5+2)ab+2b²
=(a+b)(5a+2b)
○5a2b a5a²2ab b5ab2b²
×5ab a5a²ab 2b10ab2b²
(3) 8x²-10xy+3y²
=8x²+(-6-4)xy+3y²
=(2x-y)(4x-3y)
×8x-3y x8x²-3xy -y-8xy3y²
×8x-y x8x²-xy -3y-24xy3y²
○4x-3y 2x8x²-6xy -y-4xy3y²
×4x-y 2x8x²-2xy -3y-12xy3y²
(4) 12a²+7a-12
=12a²+(16-9)a-12
=(3a+4)(4a-3)
×4a3 3a12a²9a -4-16a-12
○4a-3 3a12a²-9a 416a-12

Question 18

次の式を因数分解せよ。
(1) a²+4b²+c²+4ab+4bc+2ca
(2) 4x²+y²+1+4xy+2y+4x
(3) 4a²+b²+1+4ab-2b-4a
(4) x²+4y²+9z²-4xy+12yz-6zx

Accepted Answer

(1) a²+4b²+c²+4ab+4bc+2ca
=a²+(2b)²+c²
+2・a(2b)+2・(2b)c+2・ca
=(a+2b+c)²
a2bc aa²2abac 2b2ab4b²2bc cac2bcc²
(2) 4x²+y²+1+4xy+2y+4x
=(2x)²+y²+1²+2・(2x) y
+2・ y・ 1+2・ 1・(2x)
=(2x+y+1)²
2xy1 2x4x²2xy2x y2xyy²y 12xy1
(3) 4a²+b²+1+4ab-2b-4a
=(2a)²+b²+(-1)²+2・(2a)b
+2・ b(-1)+2・(-1)(2a)
=(2a+b-1)²
2ab-1 2a4a²2ab-2a b2abb²-b -1-2a-b1
(4) x²+4y²+9z²-4xy+12yz-6zx
=x²+(2y)²+(3z)²+2・x(-2y)
+2・(-2y)(-3z)+2・(-3z)x
=(x-2y-3z)²
x-2y-3z xx²-2xy-3xz -2y-2xy4y²6yz -3z-3xz6yz9z²

Question 19

次の式を因数分解せよ。
(1) x³+9x²y+27xy²+27y³
(2) 8a³+12a²b+6ab²+b³
(3) x³-6x²+12x-8
(4) 27x³-54x²y+36xy²-8y³

Accepted Answer

(1) x³+9x²y+27xy²+27y³
=x³+3・x²(3y)+3・x(3y)²+(3y)³
=(x+3y)³
(2) 8a³+12a²b+6ab²+b³
=(2a)³+3・(2a)²b+3・(2a)b²+b³
=(2a+b)³
(3) x³-6x²+12x-8
=x³-3・ x²・ 2+3・ x・ 2²-2³
=(x-2)³
(4) 27x³-54x²y+36xy²-8y³
=(3x)³-3・(3x)²(2y)
+3・(3x)(2y)²-(2y)³
=(3x-2y)³
このタイプの因数分解では、a³+○+△+b³をみて、とりあえず(a + b)³としておいてから、それを展開して確かめるという手順を踏むとよい。

Question 20

次の式を因数分解せよ。
(1) x³+27
(2) 8a³+1
(3) 8x³-27y³
(4) 64a³-125b³

Accepted Answer

(1) x³+27
=x³+3³
=(x+3)(x²-3x+9)
x²-3x9 xx³-3x²9x 33x²-9x27
(2) 8a³+1
=(2a)³+1³
=(2a+1)(4a²-2a+1)
4a²-2a1 2a8a³-4a²2a 14a²-2a1
(3) 8x³-27y³
=(2x)³-(3y)³
=(2x-3y)(4x²+6xy+9y²)
4x²6xy9y² 2x8x³12x²y18xy² -3y-12x²y-18xy²-27y³
(4) 64a³-125b³
=(4a)³-(5b)³
=(4a-5b)(16a²+20ab+25b²)
16a²20ab25b² 4a64a³80a²b100ab² -5b-80a²b-100ab²-125b³
○³±△³ の形の因数分解は忘れやすいので気をつけよう。また、2³=8、3³=27、4³=64、5³=125、6³=216、7³=343、8³=512、9³=729 などは、整数の 3 乗（立方数という）であることに気づけるようにしておこう。

Question 21

次の式を因数分解せよ。
(1) a²-14ab+49b²
(2) 2x²-x-3
(3) 343a³-8b³
(4) 4x²+23x-6
(5) 3b²-27c²
(6) 3x³+81y³
(7) 2a⁴-32
(8) x⁸-1
(9) a⁶-b⁶
(10) 5(x+y)²-8(x+y)-4
(11) (a+b)²+10c(a+b)+25c²

Accepted Answer

(1) a²-14ab+49b²=(a-7b)²
（注） 平方の公式の逆利用参照
(2) 2x²-x-3=(2x-3)(x+1)
（注） 1次式の積の公式の逆利用参照
(3) 343a³-8b³
=(7a-2b)(49a²+14ab+4b²)
（注） 立方の公式2の逆利用参照
(4) 4x²+23x-6=(4x-1)(x+6)
（注） 1次式の積の公式の逆利用参照
(5) 3b²-27c²=3(b²-9c²)
=3(b+3c)(b-3c)
（注） 和と差の積の公式の逆利用参照
(6) 3x³+81y³
=3(x³+27y³)
=3(x+3y)(x²-3xy+9y²)
（注） 立方の公式2の逆利用参照
(7) 2a⁴-32
=2(a⁴-16)
=2(a²+4)(a²-4)
=2(a²+4)(a+2)(a-2)
（注） 和と差の積の公式の逆利用参照
(8) x⁸-1
=(x⁴+1)(x⁴-1)
=(x⁴+1)(x²+1)(x²-1)
=(x⁴+1)(x²+1)(x+1)(x-1)
（注） 和と差の積の公式の逆利用参照
(9) a⁶-b⁶
=(a³+b³)(a³-b³)
=(a+b)(a²-ab+b²)
(a-b)(a²+ab+b²)
=(a+b)(a-b)
(a²-ab+b²)(a²+ab+b²)
（注） 和と差の積の公式の逆利用参照
（注） 立方の公式2の逆利用参照
(10) x+y=X とおくと
5X²-8X-4
=(5X+2)(X-2)
=(5x+5y+2)(x+y-2)
（注） 1次式の積の公式の逆利用参照
(11) a+b=X とおくと
X²+10cX+25c²
=(X+5c)²
=(a+b+5c)²
（注） 平方の公式の逆利用参照

Question 22

次の式を因数分解せよ。
(1) a²+ab+bc+ca
(2) x²+2xy-2y-1
(3) x²+2xy+3x+4y+2
(4) a³+ab²+b²+1

Accepted Answer

(1) b について降べきの順に整理すると
a²+ab+bc+ca
=(a+c)b+(a²+ca)
=(a+c)b+(a+c)a
=(a+b)(a+c)
c で整理してもよい
共通因数を見抜いて因数分解してもよい。また、a の2次式と見て、次に学ぶ2文字2次式の因数分解で考えてもよい。
(2) y について降べきの順に整理すると
x²+2xy-2y-1
=(x-1)2y+(x²-1)
=(x-1)2y+(x-1)(x+1)
=(x-1)(x+2y+1)
x の次数は 2、y の次数は 1
(3) y についての降べきの順に整理すると
x²+2xy+3x+4y+2
=(2x+4)y+(x²+3x+2)
=(x+2)2y+(x+1)(x+2)
=(x+2)(x+2y+1)
x の次数は 2、y の次数は 1
(4) b についての降べきの順に整理すると
a³+ab²+b²+1
=(a+1)b²+(a³+1)
=(a+1)b²+(a+1)(a²-a+1)
=(a+1)(a²+b²-a+1)
a の次数は 3、b の次数は 2

Question 23

次の式を因数分解せよ。
(1) 2x²+5xy+3y²+2x+4y-4
(2) 6x²-5xy-6y²+4x+7y-2

Accepted Answer

(1) - 【方法1】
与式を x について降べきの順に整理すると
2x²+5xy+3y²+2x+4y-4
=2x²+(5y+2)x+3y²+4y-4
=2x²+(5y+2)x
+(3y-2)(y+2)
となり、表は
x 2x2x² (3y-2)(y+2)
↓
xy+2 2x2x²(2y+4)x 3y-2(3y-2)x(3y-2)(y+2)
と作れるので、
2x²+5xy+3y²+2x+4y-4
=(2x+3y-2)(x+y+2)
となる。
・【方法2】
3 マス × 3 マスの表は
x 2x2x² 3y² -4
↓
xy 2x2x²2xy 3y3xy3y² -4
↓
xy2 2x2x²2xy4x 3y3xy3y²6y -2-2x-2y-4
と作れるので、
2x²+5xy+3y²+2x+4y-4
=(2x+3y-2)(x+y+2)
となる。
(2) - 【方法1】
与式を x について降べきの順に整理すると
6x²-5xy-6y²+4x+7y-2
=6x²+(-5y+4)x
-(6y²-7y+2)
=6x²+(-5y+4)x
-(3y-2)(2y-1)
となり、表は
3x 2x6x² -(3y-2)(2y-1)
↓
3x2y-1 2x6x²(4y-2)x -(3y-2)(-9y+6)x-(3y-2)(2y-1)
と作れるので、
6x²-5xy-6y²+4x+7y-2
=(2x-3y+2)(3x+2y-1)
となる。
・【方法2】
3×3 の表は
3x 2x6x² -6y² -2
↓
3x2y 2x6x²4xy -3y-9xy-6y² -2
↓
3x2y-1 2x6x²4xy-2x -3y-9xy-6y²3y 26x4y-2
と作れるので、
6x²-5xy-6y²+4x+7y-2
=(2x-3y+2)(3x+2y-1)
となる。

Question 24

次の式を因数分解せよ。
(1) x⁴-7x²-8
(2) x⁴+x²+1

Accepted Answer

(1) x²=X とおくと
x⁴-7x²-8
=X²-7X-8
=(X+1)(X-8)
=(x²+1)(x²-8)
(2) x⁴ と 1 に着目して
x⁴+x²+1
=x⁴+2x²+1-x²
=(x²+1)²-x²
=(x²+1+x)(x²+1-x)
=(x²+x+1)(x²-x+1)

Question 25

a³+b³+c³-3abc を因数分解せよ。

Accepted Answer

a³+b³+c³-3abc
={a³+b³}+c³-3abc
（注） a³+b³に着目して…
={(a+b)³-3ab(a+b)}+c³-3abc
（注） ①を使った
=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc
=(a+b)³+c³◯-3ab(a+b)-3abc□
（注） 今度は(a+b)³+c³に着目する
={(a+b)+c}{(a+b)²-(a+b)c+c²}◯
-3ab{(a+b)+c}□
（注） ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて
X³+Y³=(X+Y)(X²-XY+Y²)
の因数分解を使った
=(a+b+c){a²+2ab+b²-ac-bc+c²}
-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)
(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)
（注） 共通因数(a+b+c)でくくった
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
(1) (3a)³+(2b)³+c³-3(3a)(2b)c
=(3a+2b+c)
(9a²+4b²+c²
-6ab-2bc-3ca)
(2) x³+y³+(-1)³-3xy(-1)
=(x+y-1)
(x²+y²+1-xy+y+x)

Question 26

次の式を因数分解せよ。
(1) 27a³+8b³+c³-18abc
(2) x³+y³-1+3xy

Accepted Answer

a³+b³+c³-3abc
={a³+b³}+c³-3abc
（注） a³+b³に着目して…
={(a+b)³-3ab(a+b)}+c³-3abc
（注） ①を使った
=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc
=(a+b)³+c³◯-3ab(a+b)-3abc□
（注） 今度は(a+b)³+c³に着目する
={(a+b)+c}{(a+b)²-(a+b)c+c²}◯
-3ab{(a+b)+c}□
（注） ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて
X³+Y³=(X+Y)(X²-XY+Y²)
の因数分解を使った
=(a+b+c){a²+2ab+b²-ac-bc+c²}
-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)
(a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab)
（注） 共通因数(a+b+c)でくくった
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
(1) (3a)³+(2b)³+c³-3(3a)(2b)c
=(3a+2b+c)
(9a²+4b²+c²
-6ab-2bc-3ca)
(2) x³+y³+(-1)³-3xy(-1)
=(x+y-1)
(x²+y²+1-xy+y+x)

Question 27

次の式を因数分解せよ。
(1) xy-x-y+1
(2) a²+b²+ac-bc-2ab
(3) x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y)
(4) ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
(5) x⁴+x²+1
(6) a⁴+64
(7) x²-xy-12y²+5x+y+6
(8) 2x²-y²-xy+3x+3y-2

Accepted Answer

(1) xy-x-y+1
=(y-1)x-(y-1)
=(x-1)(y-1)
（注） x と y はともに1次式なので、とりあえず x で整理する
(2) c について降べきの順に整理すると
(a-b)c+a²+b²-2ab
=(a-b)c+(a-b)²
=(a-b)c+(a-b)(a-b)
=(a-b)(a-b+c)
（注） a と b は2次であり c は1次であるから c で整理する
(3) x について降べきの順に整理すると
(y-z)x²-(y²-z²)x+y²z-yz²
=(y-z)x²
-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)
=(y-z){x²-(y+z)x+yz}
=(y-z)(x-y)(x-z)
（注） すべての文字は2次で等しいので、とりあえず x で整理する
(4) a について降べきの順に整理すると
(b-c)a²-(b²-c²)a+b²c-bc²
=(b-c)a²
-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)
=(b-c){a²-(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
（注） すべての文字は2次で等しいので、とりあえず a で整理する
(5) x⁴ と 1 に着目して
x⁴+1+x²
=(x²+1)²-2x²+x²
=(x²+1)²-x²
=(x²+1+x)(x²+1-x)
=(x²+x+1)(x²-x+1)
（注） 複2次式の因数分解参照
(6) a⁴ と 64 に着目して
a⁴+64
=(a²+8)²-16a²
=(a²+8+4a)(a²+8-4a)
=(a²+4a+8)(a²-4a+8)
（注） 複2次式の因数分解参照
(7) x について降べきの順にし、定数項を因数分解すると
x²-xy-12y²+5x+y+6
=x²+(-y+5)x-(12y²-y-6)
=x²+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3)
となる。これを元に表を書けば
x3y+2 xx²(3y+2)x -(4y-3)(-4y+3)x-(3y+2)(4y-3)
となるので、(x-4y+3)(x+3y+2) と因数分解できる。
（注） 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照
x3y2 xx²3xy2x -4y-4xy-12y²-8y 33x9y6
という表を作ってもよい。
(8) x について降べきの順にし、定数項を因数分解すると
2x²-y²-xy+3x+3y-2
=2x²+(-y+3)x-(y²-3y+2)
=2x²+(-y+3)x-(y-1)(y-2)
となる。これを元に表を書けば
x-(y-2) 2x2x²(-2y+4)x (y-1)(y-1)x-(y-1)(y-2)
となるので、(x-y+2)(2x+y-1) と因数分解できる。
（注） 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照
x-y2 2x2x²-2xy4x yxy-y²2y -1-xy-2
という表を作ってもよい。

Question 28

(1) 多項式 F=ab-3a+2b-6 について、次の問いに答えよ。
(1) F を因数分解せよ。
(2) F=6 を満たす自然数 (a, b) の組をすべて求めよ。
(2) mn+2m-n=3 を満たす整数 (m, n) の組をすべて求めよ。

Accepted Answer

(1) 1. F=a(b-3)+2(b-3)
=(a+2)(b-3)
（注） aについて整理した
(2) a.の結果から
(a+2)(b-3)=6
となる自然数 a、b を求めればよい。
6 を自然数の範囲で約数の積に分解すると、6=6×1、 3×2、 2×3、 1×6 である。a+2 は 3 以上でないといけないことに注意すれば
（注） 自然数は、1 以上の値である。
a+2=6
b-3=1
a+2=3
b-3=2
のいずれかが必要である。それぞれの式から (a, b)=(4, 4), (1, 5) と求められる。
(2) 文字 m、n を含む項を因数分解する。
mn+2m-n=3
⇔ m(n+2)-n=3
（注） mで整理した
⇔ m(n+2)-(n+2)=3-2
（注） 両辺から 2 を引いた
⇔ (m-1)(n+2)=1
1=1×1または(-1)×(-1)であるので
m-1=1
n+2=1
m-1=-1
n+2=-1
のいずれかが必要である。それぞれの式から (m, n)=(2, -1), (0, -3) と求められる。

式の計算の練習問題（全28問・解答つき）

問題1単項式の次数

問題2多項式の次数

問題3降べきの順

問題4多項式の加法と減法

問題5指数法則の練習

問題6多項式の展開

問題7多項式の展開～1次式の積の公式

問題8多項式の展開～立方の公式～

問題9多項式の展開の練習～その1～

問題10多項式の展開の練習～その２～

問題11多項式の展開の練習～その３～

問題12共通因数による因数分解

問題13平方の公式を逆に利用した因数分解

問題142重根号をはずす

問題15和と差の積の公式を逆に利用した因数分解

問題161次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その１～

問題171次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その2～

問題183項の平方の公式を逆に利用した因数分解

問題19立方の公式1を逆に利用した因数分解

問題20立方の公式2を逆に利用した因数分解

問題21因数分解の練習～その１～

問題22次数の低い文字に着目する因数分解

問題232文字2次式の因数分解

問題24複2次式の因数分解

問題253文字3次式の因数分解

問題26因数分解の練習～その２～

問題27因数分解と式の値

覚えておきたい事項（1問）

暗記13文字3次式の因数分解