式の計算の練習問題（全28問・解答つき）
数学I「式の計算」（数と式）の練習問題を28問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
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問題1単項式の次数
次の多項式について、[ ]内の文字に着目したときの次数と係数を答えよ。
3x⁴y⁵ x y x y 2abxy² x y x y
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x 4 3y⁵ y 5 3x⁴ x y 9 3
x 1 2aby² y 2 2abx x y 3 2ab
問題2多項式の次数
次の多項式を同類項でまとめよ。また、[]内の文字に着目したとき何次式か。
、 x³+xy²-3xy²[x]、[y] 、 x⁴+(a²-a)x³y+2bxy² +ax³y-4bxy²[x]、[y]
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同類項でまとめると
x³+xy²-3xy²=x³-2xy²
x x³ 3 2xy² 1
3次式
である。
y x³ 0 -2xy² 2
2次式
である。
同類項でまとめると
x⁴+(a²-a)x³y +2bxy²+ax³y-4bxy² =x⁴+(a²-a+a)x³y+(2-4)bxy² =x⁴+a²x³y-2bxy²
x x⁴ 4 a²x³y 3 -2bxy² 1
4次式
である。
y x⁴ 0 a²x³y 1 -2bxy² 2
2次式
である。
問題3降べきの順
次の多項式を x
3x²-12xy+4+3x²-2x+5 2x²+2y²-3xy+4y²+2xy-x²
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まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。
3x²-12xy+4+3x²-2x+5 =(3+3)x²+(-12y-2)x+(4+5) =6x²+(-12y-2)x+9 x² 6 x -12y-2 9
まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。
2x²+2y²-3xy+4y²+2xy-x² =(2-1)x²+(2-3)xy+(2+4)y² =x²-xy+6y² x² 1 x -y 6y²
問題4多項式の加法と減法
A=3x²-2x+1 B=2x²+7x-3
A+B A-B
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A+B=(3x²-2x+1) +(2x²+7x-3) =3x²-2x+1+2x²+7x-3 =(3+2)x² +(-2+7)x+(1-3) =5x²+5x-2 A-B=(3x²-2x+1) -(2x²+7x-3) =3x²-2x+1-2x²-7x+3 =(3-2)x² +(-2-7)x+(1+3) =x²-9x+4
問題5指数法則の練習
次の式を計算して簡単にせよ。
x²×x³ (x²)³ (x³)⁵ (xy²)³
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x²×x³=x^2+3=x⁵ (x²)³=x^2×3=x⁶ (x³)⁵=x^3×5=x¹⁵ (xy²)³=x³(y²)³=x³y⁶
問題6多項式の展開
次の式を展開せよ。
(x+3)(2x+1) (4x-1)(2x+3) (x+4)(2x²-8x+5) (3x-x²)(5x²-2x+1)
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(x+3)(2x+1) =2x²+x+6x+3 =2x²+7x+3 (4x-1)(2x+3) =8x²+12x-2x-3 =8x²+10x-3 (x+4)(2x²-8x+5) =2x³-8x²+5x+8x²-32x+20 =2x³-27x+20 (3x-x²)(5x²-2x+1) =15x³-6x²+3x-5x⁴+2x³-x² =-5x⁴+17x³-7x²+3x
問題7多項式の展開～1次式の積の公式
次の多項式を展開し整理せよ。
(x+2)(2x+1) (2x+3)(3x-2) (5x-3y)(2x-y) (1/3x-2y)(2x-1/2y)
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(x+2)(2x+1)=2x²+5x+2 (2x+3)(3x-2)=6x²+5x-6 (5x-3y)(2x-y) =10x²-11xy+3y² (1/3x-2y)(2x-1/2y) =2/3x²+(-1/6-4)xy+y² =2/3x²-25/6xy+y²
問題8多項式の展開～立方の公式～
次の多項式を展開し整理せよ。
(2x+1)³ (3a-2)³ (x+2)(x²-2x+4) (ab-3)(a²b²+3ab+9)
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(2x+1)³ =(2x)³+3・(2x)²・1 +3・(2x)・1²+1³ =8x³+12x²+6x+1 (3a-2)³ =(3a)³+3・(3a)²・(-2)+(-2)³ =27a³-54a²+36a-8 (x+2)(x²-2x+4) =x³+2³=x³+8 (ab-3)(a²b²+3ab+9) =(ab)³-3³=a³b³-27
問題9多項式の展開の練習～その1～
1.(1/2x+1/3y)² (3a-1/2b)² (2x-5y)(2x+5y) (-2ab+3c)(2ab+3c) (x+5)(x-8) (a²-3)(a²+7) (2x+1)(x-3) (3a-2)(4a+1) (x-3)³ (2x+4y)³ (2x-5)(4x²+10x+25) (p+q)(3p²-3pq+3q²)
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(1/2x+1/3y)²=x²/4+xy/3+y²/9 (3a-1/2b)²=9a²-3ab+1/4b² (2x-5y)(2x+5y)=4x²-25y² (-2ab+3c)(2ab+3c) =(3c-2ab)(3c+2ab) =9c²-4a²b² (x+5)(x-8)=x²-3x-40 (a²-3)(a²+7)=a⁴+4a²-21 (2x+1)(x-3)=2x²-5x-3 (3a-2)(4a+1)=12a²-5a-2 (x-3)³=x³-9x²+27x-27 指 数 法 則 参 照 立 方 の 公 式 参 照 (2x+4y)³ =2³・(x+2y)³ 指数法則3.参照 =8(x³+6x²y+12xy²+8y³) 立方の公式1参照 =8x³+48x²y+96xy²+64y³ (2x-5)(4x²+10x+25) =8x³-125 公 式 を 使 え る よ う に し た 立 方 の 公 式 参 照 (p+q)(3p²-3pq+3q²) =3(p+q)(p²-pq+q²) =3(p³+q³) 公式を使えるようにした =3p³+3q³ 立方の公式2参照
問題10多項式の展開の練習～その２～
(3a-b+3c)² (a²+a-1)² (x+y+z)(x+y-z) (2a-b+c)(2a+b+c)
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項 の 平 方 の 公 式 参 照 (3a-b+3c)² =9a²+b²+9c²-6ab+18ca 3項の平方の公式参照 項 の 平 方 の 公 式 参 照 (a²+a-1)² =(a²)²+a²+(-1)²+2・ a²・ a +2・ a・(-1)+2・(-1)・ a² 3項の平方の公式参照 =a⁴+2a³-a²-2a+1 (x+y) 和 と 差 の 積 の 公 式 参 照 平 方 の 公 式 参 照 (x+y+z)(x+y-z) =(x+y)²-z² 和と差の積の公式参照 =x²+2xy+y²-z² 平方の公式参照 (2a+c) 和 と 差 の 積 の 公 式 参 照 平 方 の 公 式 参 照 (2a-b+c)(2a+b+c) =(2a+c)²-b² 和と差の積の公式参照 =4a²+4ac+c²-b² 平方の公式参照
問題11多項式の展開の練習～その３～
(x+1)(x-1)(x²+1) (a-2)(a+2)(a²+4)(a⁴+16) (x-1)(x-3)(x+3)(x+1) (a-1)(a-2)(a²-3a)
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まずは (x+1)(x-1) 和 と 差 の 積 の 公 式 参 照 和 と 差 の 積 の 公 式 参 照 (x+1)(x-1)(x²+1) 和と差の積の公式参照 =(x²-1)(x²+1) 和と差の積の公式参照 =x⁴-1
まず、 (a-2)(a+2)
x-1 x+1 (x-3) (x+3) 和 と 差 の 積 の 公 式 参 照 次 式 の 積 の 公 式 参 照 (x-1)(x-3)(x+3)(x+1) =(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) =(x²-1)(x²-1)(x²-9) 和と差の積の公式参照 =x⁴-10x²+9 1次式の積の公式参照 が 共 通 し て い る を と お く と 、 と な る た め (a-1)(a-2)(a²-3a) =(a²-3a+2)(a²-3a) =(a²-3a)²+2(a²-3a) a²-3a が共通している =a⁴-6a³+9a²+2a²-6a a²-3a を A とおくと、 (A+2)A=A²+2A となるため =a⁴-6a³+11a²-6a
問題12共通因数による因数分解
次の式を因数分解せよ。
a⁴-2a 6a²b+4ab²-2ab p(2x-y)+q(y-2x) 3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x)
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a⁴ -2a a 共 通 因 数 を く く り 出 す a⁴-2a =a(a³-2) 共通因数 a をくくり出す a³-2 aa⁴-2a 6a²b 4ab² -2ab 2ab 共 通 因 数 で あ る を く く り 出 す 6a²b+4ab²-2ab =2ab(3a+2b-1) 共通因数である 2ab をくくり出す 3a2b-1 2ab6a²b4ab²-2ab y-2x=-(2x-y) 2x-y 共 通 因 数 で あ る で く く る p(2x-y)+q(y-2x) =p(2x-y)-q(2x-y) =(p-q)(2x-y) 共通因数である 2x-y でくくる p-q 2x-yp(2x-y)-q(2x-y) y-x=-(x-y) x-y 共 通 因 数 で あ る で く く る 3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x) =3a(x-y)+6b(x-y)-9c(x-y) =3(x-y)(a+2b-3c) 共通因数である 3(x-y) でくくる a2b-3c 3(x-y)3a(x-y)6b(x-y)-9c(x-y)
問題13平方の公式を逆に利用した因数分解
次の式を因数分解せよ。
x²+6x+9 4x²-12xy+9y² a⁴+4a²+4
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x²+6x+9 =x²+2・3x+3² =(x+3)² x3 xx²3x 33x9 4x²-12xy+9y² =(2x)²-2・(2x)(3y)+(3y)² =(2X-3y)² 2x-3y 2x4x²-6xy -3y-6xy9y² a²=A a⁴=A² 慣 れ れ ば お き か え ず に で き る a⁴+4a²+4 =A²+4A+4 =(A+2)² =(a²+2)² 慣れればおきかえずにできる a²2 a²a⁴2a² 22a²4
因数分解後の式は、「展開」してみると因数分解前の式と同じになので、 自分の実行した因数分解が正しいかどうかは、展開することによって確認できる。 少し面倒だが、因数分解した後には、かならず展開して確認するようにしよう。 まちがった因数分解をしても何にもならないのだから…。
問題142重根号をはずす
次の2重根号をはずせ。
√(9-2√14) √(7+4√3) √(3-√5)
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足 し て 、 掛 け て に な る 数 を 探 す を 作 る と き は 、 を 満 た す よ う に 作 る と よ い 。 √(9-2√14) =√(√7-√2)² 足して9、掛けて14になる数を探す (○-△)² を作るときは、○>△を満たすように作るとよい。 =√7-√2 ま ず の 形 に な お し 、 変 形 が で き る よ う に す る 。 平 方 の 形 に し た （ 足 し て 、 掛 け て に な る 数 を 探 す 重 根 号 を は ず し た √(7+4√3) =√(7+2√12) まず √○±2√△の形になおし、 変形ができるようにする。 =√(√4+√3)² 平方の形にした （足して 7、掛けて 12 になる数を探す) =√4+√3 2重根号をはずした =2+√3 内 側 の の 前 に が 無 く て も 、 分 母 ・ 分 子 に を 掛 け て の 形 を 作 る 足 し て 、 掛 け て に な る 数 を 探 す 。 を 作 る と き は 、 を 満 た す よ う に 作 る と よ い 。 最 後 は 分 母 を 有 理 化 し て お く √(3-√5) =√(3-√5)×√2/√2 内側の √の前に 2 が無くても、分母・ 分子に √2 を掛けて 2√の形を作る =√(6-2√5)/√2 =√(√5-√1)²/√2 足して 6、掛けて 5 になる数を探す。 (○-△)² を作るときは、 ○>△を満たすように作るとよい。 =(√5-1)/√2=(√10-√2)/2 最後は分母を有理化しておく
問題15和と差の積の公式を逆に利用した因数分解
次の式を因数分解せよ。
a²-9 4x²−25y² a⁴−1 (a−b)²−c²
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a²-9 =a²-3² =(a+3)(a-3) a-3 aa²-3a 33a-9
4x²-25y² =(2x)²-(5y)² =(2x+5y)(2x-5y) 2x-5y 2x4x²-10xy 5y10xy-25xy
a²=A a⁴=A²
A は ま だ 分 解 で き る a⁴-1 =A²-1² =(A+1)(A-1) =(a²+1)(a²-1) a²-1 はまだ分解できる =(a²+1)(a+1)(a-1)
a-b=X
X (a-b)²-c² =X²-c² =(X+c)(X-c) =(a-b+c)(a-b-c) (a-b)²-c² =(a-b)+c(a-b)-c =(a-b+c)(a-b-c) a-b-c a-b(a-b)²-(a-b)c c(a-b)c-c²
問題161次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その１～
次の式を因数分解せよ。
x²+10x+21 x-2-6x+8 a²+3ab−18b² a²-4a-32
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x²+10x+21 =x²+(3+7)x+3・7 =(x+3)(x+7) ×x21 xx²21x 1x21 ○x7 xx²7x 33x21 x²-6x+8 =x²+(-2-4)x+(-2)(-4) =(x-2)(x-4) ×x-8 xx²-8x -1-x8 ○x-4 xx²-4x -2-2x8 a²+3ab-18b² =a²+(-3b+6b)a+(-3b)(6b) =(a-3b)(a+6b) ×a18b aa²18ab -b-ab-18b² ×a9b aa²9ab -2b-2ab-18b² ○a6b aa²6ab -3b-3ab-18b² a²-4a-32 =a²+(4-8)a+4・(-8) =(a+4)(a-8) ○a-8 aa²-8a 44a-32
次に、少し難しい例として 3x²+11x+6
STEP1
STEP1
展開して 3x²+11x+6 x² 3x² 6
STEP2
STEP2
3x² x×3x 6 1×6 2×3 6 (-1)×(-6) (-2)×(-3) x 11 3x6 x3x² 16 3x3 x3x² 26 3x2 x3x² 36 3x1 x3x² 66
STEP3
STEP3
表の残りの部分を埋めることにより、新しくできた右の太字の式を加えて、x 11 ×3x6 x3x²6x 13x6 ×3x3 x3x²3x 26x6 ○3x2 x3x²2x 39x6 ×3x1 x3x²x 618x6 3x²+11x+6=(x+3)(3x+2)
問題171次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その2～
次の式を因数分解せよ。
2x²+3x+1 5a²+7ab+2b² 8x²-10xy+3y² 12a²+7a-12
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2x²+3x+1 =2x²+(2+1)x+1 =(x+1)(2x+1) ○2x1 xx²x 12x1 5a²+7ab+2b² =5a²+(5+2)ab+2b² =(a+b)(5a+2b) ○5a2b a5a²2ab b5ab2b² ×5ab a5a²ab 2b10ab2b² 8x²-10xy+3y² =8x²+(-6-4)xy+3y² =(2x-y)(4x-3y) ×8x-3y x8x²-3xy -y-8xy3y² ×8x-y x8x²-xy -3y-24xy3y² ○4x-3y 2x8x²-6xy -y-4xy3y² ×4x-y 2x8x²-2xy -3y-12xy3y² 12a²+7a-12 =12a²+(16-9)a-12 =3b(3a+2)(a-2) ×4a3 3a12a²9a -4-16a-12 ○4a-3 3a12a²-9a 416a-12
問題183項の平方の公式を逆に利用した因数分解
次の式を因数分解せよ。
a²+4b²+c²+4ab+4bc+2ca 4x²+y²+1+4xy+2y+4x 4a²+b²+1+4ab−2b−4a x²+4y²+9z²−4xy+12yz−6zx
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a²+4b²+c²+4ab+4bc+2ca =a²+(2b)²+c² +2・a(2b)+2・(2b)c+2・ca =(a+2b+c)² a2bc aa²2abac 2b2ab4b²2bc cac2bcc² 4x²+y²+1+4xy+2y+4x =(2x)²+y²+1²+2・(2x) y +2・ y・ 1+2・ 1・x =(2x+y+1)² 2xy1 2x4x²2xy2x y2xyy²y 12xy1 4a²+b²+1+4ab-2b-4a =(2a)²+b²+(-1)²+2・(2a)b +2・ b(-1)+2・(-1)a =(2a+b-1)² 2ab-1 2a4a²2ab-2a b2abb²-b -1-2a-b1 x²+4y²+9z²-4xy+12yz-6zx =x²+(2y)²+(3z)²+2・x(-2y) +2・(-2y)(-3z)+2・(-3z)x =(x-2y-3z)² x-2y-3z xx²-2xy-3xz -2y-2xy4y²6yz -3z-3xz6yz9z²
問題19立方の公式1を逆に利用した因数分解
次の式を因数分解せよ。
x³+9x²y+27xy²+27y³ 8a³+12a²b+6ab²+b³ x³-6x²+12x-8 27x³-54x²y+36xy²-8y³
解答を見る
x³+9x²y+27xy²+27y³ =x³+3・x²(3y)+3・x(3y)²+(3y³) =(x+3y)³ 8a³+12a²b+6ab²+b³ =(2a)³+3・(2a)²b+3・(2a)b²+b³ =(2a+b)³ x³-6x²+12x-8 =x³-3・ x²・ 2+3・ x・ 2²-2³ =(x-2)³ 27x³-54x²y+36xy²-8y³ =(3x)³-3・(3x)²(2y) +3・(3x)(2y)²-(2y)³ =(3x-2y)³
問題20立方の公式2を逆に利用した因数分解
次の式を因数分解せよ。
x³+27 8a³+1 8x³−27y³ 64a³−125b³
解答を見る
x³+27 =x³+3³b =(x+3)(x²-3x+9) x²-3x9 xx³-3x²9x 33x²-9x27 8a³+1 =(2a)³+1³ =(2a+1)(4a²-2a+1) 4a²-2a1 2a8a³-4a²2a 14a²-2a1 8x³-27y³ =(2x)³-(3y)³ =(2x-3y)(4x²+6xy+9y²) 4x²6xy9y² 2x8x³12x²y18xy² -3y-12x²y-18xy²-27y³ 64a³-125b³ =(4a)³-(5b)³ =(4a-5b)(16a²+20ab+25b²) 16a²20ab25b² 4a64a³80a²b100ab² -5b-80a²b-100ab²-125b³
○³±△³ 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 3
問題21因数分解の練習～その１～
次の式を因数分解せよ。
a²-14ab+49b² 2x²-x-3 343a³-8b³ 4x²+23x-6 3b²-27c² 3x³+81y³ 2a⁴-32 x⁸-1 a⁶-b⁶ 5(x+y)²-8(x+y)-4 (a+b)²+10c(a+b)+25c²
解答を見る
a²-14ab+49b²=(a-7b)²
2x²-x-3=(2x-3)(x+1) 343a³-8b³ =(7a-2b)(49a²+14ab+4b²)
4x²+23x-6=(4x-1)(x+6)
3b²-27c²=3(b²-9c²) =3(b+3c)(b-3c)
3x³+81y³ =3(x³+27y³) =3(x+3y)(x²-3xy+9y²)
2a⁴-32 =2(a⁴-16) =2(a²+4)(a²-4) =2(a²+4)(a+2)(a-2)
(x⁸-1) =(x⁴+1)(x⁴-1) =(x⁴+1)(x²+1)(x²-1) =(x⁴+1)(x²+1)(x+1)(x-1)
a⁶-b⁶ =(a³+b³)(a³-b³) =(a+b)(a²-ab+b²) (a-b)(a²+ab+b²) =(a+b)(a-b) (a²-ab+b²)(a²+ab+b²)
x+y=X 5X²-8X-4 =(5X+2)(X-2) =(5x+5y+2)(x+y-2)
a+b=X X²+10cX+25c² =(X+5c)² =(a+b+5c)²
問題22次数の低い文字に着目する因数分解
次の式を因数分解せよ。
a²+ab+bc+ca x²−2xy+2y−1 x²+2xy+3x+4y+2 a³+ab²+b²+1
解答を見る
b a²+ab+bc+ca =(a+c)b+(a²+ca) =(a+c)b+(a+c)a =(a+b)(a+c) c
共通因数を見抜いて因数分解してもよい。また、a
y x²+2xy-2y-1 =(x-1)2y+(x²-1) =(x-1)2y+(x-1)(x+1) =(x-1)(x+2y+1) x 2 y 1
y x²+2xy+3x+4y+2 =(2x+4)y+(x²+3x+2) =(x+2)2y+(x+1)(x+2) =(x+2)(x+2y+1) x 2 y 1
b a³+ab²+b²+1 =(a+1)b²+(a³+1) =(a+1)b²+(a+1)(a²-a+1) =(a+1)(a²+b²-a+1) a 3 b 2
問題232文字2次式の因数分解
次の式を因数分解せよ。
2x²+5xy+3y²+2x+4y-4 6x²-5xy-6y²+4x+7y-2
解答を見る
【方法1】
与式を x 2x²+5xy+3y²+2x+4y-4 =2x²+(5y+2)x+3y²+4y-4 =2x²+(5y+2)x +(3y-2)(y+2) x 2x2x² (3y-2)(y+2) ↓ xy+2 2x2x²(2y+4)x 3y-2(3y-2)x(3y-2)(y+2) 2x²+5xy+3y²+2x+4y-4 =(2x+3y-2)(x+y+2)
【方法2】
3 × 3 x 2x2x² 3y² -4 ↓ xy 2x2x²2xy 3y3xy3y² -4 ↓ xy2 2x2x²2xy4x 3y3xy3y²6y -2-2x-2y-4 2x²+5xy+3y²+2x+4y-4 =(2x+3y-2)(x+y+2)
【方法1】
与式を x 6x²-5xy-6y²+4x+7y-2 =6x²+(-5y+4)x -(6y²-7y+2) =6x²+(-5y+4)x -(3y-2)(2y-1) 3x 2x6x² -(3y-2)(2y-1) ↓ 3x2y-1 2x6x²(4y-2)x -(3y-2)(-9y+6)x-(3y-2)(2y-1) 6x²-5xy-6y²+4x+7y-2 =(2x-3y+2)(3x+2y-1)
【方法2】
3×3 3x 2x6x² -6y² -2 ↓ 3x2y 2x6x²4xy -3y-9xy-6y² -2 ↓ 3x2y-1 2x6x²4xy-2x -3y-9xy-6y²3y 26x4y-2 6x²-5xy-6y²+4x+7y-2 =(2x-3y+2)(3x+2y-1)
問題24複2次式の因数分解
次の式を因数分解せよ。
x⁴−7x²−8 x⁴+x²+1
解答を見る
x²=X x⁴-7x²-8 =X²-7X-8 =(X+1)(X-8) =(x²+1)(x²-8) x⁴ 1 x⁴+x²+1 =x⁴+2x²+1-x² =(x²+1)²-x² =(x²+1+x)(x²+1-x) =(x²+x+1)(x²-x+1)
問題253文字3次式の因数分解
次の式を因数分解せよ。
27a³+8b³+c³-18abc x³+y³-1+3xy
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に 着 目 し て を 使 っ た 今 度 は に 着 目 す る の 部 分 は 、 、 と み て の 因 数 分 解 を 使 っ た 共 通 因 数 で く く っ た a³+b³+c³-3abc ={a³+b³}+c³-3abc a³+b³に着目して… ={(a+b)³-3ab(a+b)}+c³-3abc を使った =(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc =(a+b)³+c³◯-3ab(a+b)-3abc□ 今度は(a+b)³+c³に着目する ={(a+b)+c}{(a+b)²-(a+b)c+c²}◯ -3ab{(a+b)+c}□ ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて X³+Y³=(X+Y)(X²−XY+Y²) の因数分解を使った =(a+b+c){a²+2ab+b²-ac-bc+c²} -3ab(a+b+c) =(a+b+c) (a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab) 共通因数(a+b+c)でくくった =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
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(3a)³+(2b)³+c³-3(3a)(2b)c =(3a+2b+c) (9a²+4b²+c² -6ab-2bc-3ca) x³+y³+(-1)³-3xy(-1) =(x+y-1) (x²+y²+1-xy+y+x)
問題26因数分解の練習～その２～
次の式を因数分解せよ。
xy-x-y+1 a²+b²+ac-bc-2ab x²(y-z)+y²(z-x)+z²(x-y) ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) x⁴+x²+1 a⁴+64 x²-xy-12y²+5x+y+6 2x²-y²-xy+3x+3y-2
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xy-x-y+1 =(y-1)x-(y-1) =(x-1)(y-1) x y x
c (a-b)c+a²+b²-2ab =(a-b)c+(a-b)² =(a-b)c+(a-b)(a-b) =(a-b)(a-b+c) a b c c x (y-z)x²-(y²-z²)x+y²z-yz² =(y-z)x² -(y+z)(y-z)x+yz(y-z) =(y-z){x²-(y+z)x+yz} =(y-z)(x-y)(x-z) x
a (b-c)a²-(b²-c²)a+b²c-bc² =(b-c)a² -(b+c)(b-c)a+bc(b-c) =(b-c){a²-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) a
x⁴ 1 x⁴+1+x² =(x²+1)²-2x²+x² =(x²+1)²-x² =(x²+1+x)(x²+1-x) =(x²+x+1)(x²-x+1)
a⁴ 64 (a²+8)²-16a² =(a²+8+4a)(a²+8-4a) =(a²+4a+8)(a²-4a+8)
x x²-xy-12y²+5x+y+6 =x²+(-y+5)x-(12y²-y-6) =x²+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3) x3y+2 xx²(3y+2)x -(4y-3)(-4y+3)x-(3y+2)(4y-3) (x-4y+3)(x+3y+2)
x-3y2 xx²3xy2x -4y-4xy-12y²-8y 33x9y6
x 2x²-y²-xy+3x+3y-2 =2x²+(-y+3)x-(y²-3y+2) =2x²+(-y+3)x-(y-1)(y-2) x-(y-2) 2x2x²(-2y+4)x (y-1)(y-1)x-(y-1)(y-2) (x-y+2)(2x+y-1)
x-y2 2x2x²-2xy4x yxy-y²2y -1-xy-2
問題27因数分解と式の値
多項式 F=ab-3a+2b-6
F F=6 (a, b)
mn+2m-n=3 (m, n)
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に つ い て 整 理 し た F=a(b-3)+2(b-3) =(a+2)(b-3) aについて整理した
a.の結果から
(a+2)(b-3)=6 a b
6 6=6×1 3×2 2×3 1×6 a+2 3
1 a+2=6 b-3=1 a+2=3 b-3=2 (a, b)=(4, 4), (1, 5)
文字 m n で 整 理 し た 両 辺 か ら を 引 い た mn+2m-n=3 ⇔ m(n+2)-n=3 mで整理した ⇔ m(n+2)-(n+2)=3-2 両辺から 2 を引いた ⇔ (m-1)(n+2)=1 1=1×1 (-1)×(-1) m-1=1 n+2=1 m-1=-1 n+2=-1 (m, n)=(2, -1), (0, -3)
覚えておきたい事項（1問）
暗記13文字3次式の因数分解
a³+b³+c³-3abc
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に 着 目 し て を 使 っ た 今 度 は に 着 目 す る の 部 分 は 、 、 と み て の 因 数 分 解 を 使 っ た 共 通 因 数 で く く っ た a³+b³+c³-3abc ={a³+b³}+c³-3abc a³+b³に着目して… ={(a+b)³-3ab(a+b)}+c³-3abc を使った =(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc =(a+b)³+c³◯-3ab(a+b)-3abc□ 今度は(a+b)³+c³に着目する ={(a+b)+c}{(a+b)²-(a+b)c+c²}◯ -3ab{(a+b)+c}□ ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて X³+Y³=(X+Y)(X²−XY+Y²) の因数分解を使った =(a+b+c){a²+2ab+b²-ac-bc+c²} -3ab(a+b+c) =(a+b+c) (a²+2ab+b²-ac-bc+c²-3ab) 共通因数(a+b+c)でくくった =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
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(3a)³+(2b)³+c³-3(3a)(2b)c =(3a+2b+c) (9a²+4b²+c² -6ab-2bc-3ca) x³+y³+(-1)³-3xy(-1) =(x+y-1) (x²+y²+1-xy+y+x)
解説を読む：式の計算 →
