2次関数とそのグラフの練習問題（全16問・解答つき）

1. 

   y=2x²-3 は y=2x² のグラフを

   y 軸方向に -3 平行移動したグラフ

   であるから

   軸は y 軸（または直線 x=0）、頂点の座標は (0, -3)

   である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは次の図のようになる。

2. 

   y=2(x+2)² は y=2x² のグラフを

   x 軸方向に -2 平行移動したグラフ

   であるから

   軸は x=-2、頂点の座標は (-2, 0)

   である。また、これは下に凸な放物線であるから、グラフは次の図のようになる。

3. y=−3x²−1 は y=−3x² のグラフを

   

   y 軸方向に −1 平行移動したグラフ

   であるから

   軸は y 軸（または直線 x=0）、頂点の座標は (0, -1)

   である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは次の図のようになる。

4. 

   y=−3(x-4)² は y=-3x² のグラフを

   x 軸方向に 4平行移動したグラフ

   であるから

   軸は x=4、頂点の座標は (4, 0)

   である。また、これは上に凸な放物線であるから、グラフは上の図のようになる。

1. 

   平方完成すると y=x²-2x+3 =(x-1)²-1+3 =(x-1)²+2 となるから、頂点が (1, 2) で、下に凸な放物線であるから、グラフは次の図のようになる。

2. 

   平方完成すると y=-3x²+6x =-3{x²-2x} =-3{(x-1)²-1} =-3(x-1)²+3 となるから、頂点が (1, 3) で、上に凸な放物線であるから、グラフは次の図のようになる。

3. 

   平方完成すると y=2x²+8x+5 =2{x²+4x}+5 =2{(x+2)²-4}+5 =2(x+2)²-3 となるから、頂点が (-2, -3) で、下に凸な放物線であるから、グラフは次の図のようになる。

4. 

   平方完成すると y=-2x²-6x-5/2 =-2{x²+3x}-5/2 =-2{(x+3/2)²-9/4}-5/2 =-2(x+3/2)²+2 となるから、頂点が (-3/2, 2) で、上に凸な放物線であるから、グラフは上の図のようになる。

平方完成をすると、 f(x)=1/2(x-1)²+1 となるので、頂点の座標は (1, 1) とわかる。

1. 頂点が (3, 1) となればよいので y=1/2(x-3)²+1 ⇔ y=(1/2)x²-3x+11/2
2. 頂点が (1, 2) となればよいので y=1/2(x-1)²+2 ⇔ y=(1/2)x²-x+5/2

上の例題を別の見方でとらえてみよう。

たとえば、C1 上の各点 P(x, y) において、問題とは逆向きに x 軸方向に -2 平行移動した点 Q(x-2, y) は C 上の点だから y=1/2(x-2)²-(x-2)+3/2 ⇔ y=(1/2)x²-3x+11/2 として答えを求めることができる。

このようなやり方は、y 軸方向への平行移動でも実行できる。上の例題の2で各自それを確かめてみよ。

x を x-1、y を y-2 におきかえて y-2=(x-1)²-(x-1)+1 ⇔ y=x²-3x+5

平方完成をすると、 f(x)=1/2(x-1)²+1 となるので、頂点の座標は (1, 1) とわかる。

1. 頂点が (1, -1) となり、上に凸なグラフになればよいので y=-1/2(x-1)²-1 ⇔ y=-(1/2)x²+x-3/2
2. 頂点が (-1, 1) となればよいので y=1/2(x+1)²+1 ⇔ y=(1/2)x²+x+3/2
3. 頂点が (-1, -1) となり、上に凸なグラフになればよいので y=-1/2(x+1)²-1 ⇔ y=-(1/2)x²-x-3/2

上の例題を別の見方でとらえてみよう。

たとえば、Cx 上の各点 P(x, y) において、問題とは逆に x 軸に関して対称移動した点 Q(x, -y) は C 上の点だから -y=(1/2)x²-x+3/2 ⇔ y=-(1/2)x²+x-3/2 として答えを求めることができる。

このようなやり方は、y 軸に関する対称移動でも実行できる。上の例題の2と3で各自それを確かめてみよ。

1. y を -y におきかえて -y=x²+4x-5 ⇔ y=-x²-4x+5
2. x を -x におきかえて y=(-x)²+4(-x)-5 ⇔ y=x²-4x-5
3. x を -x に、y を -y におきかえて -y=(-x)²+4(-x)-5 ⇔ y=-x²+4x+5

一般のグラフの平行移動と対称移動については、『グラフの移動について』を参照のこと。

1. グラフの頂点が (1, -3) であるから、求める2次関数は y=a(x-1)²-3 と表せる。さらに、このグラフは点 (-1, 5) を通るから、 x=-1 のとき y=5 となる。したがって 5=a(-1-1)²-3 ⇔ 5=4a-3 ∴a=2 よって、求める2次関数は y=2(x-1)²-3、つまり y=2x²-4x-1

2. 軸が直線 x=-2 であるから、求める2次関数は y=a(x+2)²+q と表せる。さらに、このグラフは2点 (-3, 2)、 (0, -1) を通るから cases 2=a(-3+2)²+q -1=a(0+2)²+q cases ⇔ cases 2=a+q -1=4a+q cases この連立方程式を解いて、 a=-1、 q=3 を得る。

   よって、求める2次関数は y=-(x+2)²+3、つまり y=-x²-4x-1

求める2次関数を y=ax²+bx+c とおく。このグラフは、3点 A、B、C を通るから cases 6=a・1²+b・1+c -9=a・(-2)²+b・(-2)+c 3=a・4²+b・4+c cases ⇔ cases 6=a+b+c …(1) -9=4a-2b+c …(2) 3=16a+4b+c …(3) cases を得る。以下、3つの文字を含むこの連立方程式を解く。 まず、 (2)-(1) より、 3a-3b=-15、よって a-b=-5 …(4) さらに、 (3)-(2) より、 12a+6b=12、よって 2a+b=2 …(5) (4)、(5) の連立方程式を解いて a=-1、 b=4。さらに、これらを (1) に代入して c=3 を得る。 よって、求める2次関数は y=-x²+4x+3

平方完成によって f(x)=(x-1)²-3 と変形できる。

そこで y=(x-1)²-3 のグラフを、与えられた定義域内で描いて考える。

1. 

   定義域が -2≦x≦0 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(-2)=6
   • 最小値 f(0)=-2

   となる。

2. 

   定義域が -1≦x≦2 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(-1)=1
   • 最小値 f(1)=-3

   となる。

3. 

   定義域が 0≦x≦2 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(2)=f(0)=-2
   • 最小値 f(1)=-3

   となる。

4. 

   定義域が 0≦x≦3 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(3)=1
   • 最小値 f(1)=-3

   となる。

5. 

   定義域が 3≦x≦4 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(4)=6
   • 最小値 f(3)=1

   となる。

1. 

   f(x) を平方完成すると f(x)=(x+2)²-7 定義域が -1≦x≦2 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(2)=9
   • 最小値 f(-1)=-6

   となる。

2. 

   f(x) を平方完成すると f(x)=-(x+1/2)²-7/4 定義域が -1≦x≦2 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(-1/2)=-7/4
   • 最小値 f(2)=-8

   となる。

3. 

   f(x) を平方完成すると f(x)=1/2(x-1)²-7/2 定義域が -1≦x≦2 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(-1)=-3/2
   • 最小値 f(1)=-7/2

   となる。

4. 

   f(x) を平方完成すると f(x)=-3(x-2)²+7 定義域が -1≦x≦2 の場合、 y=f(x) のグラフは上の図の実線部分となるので

   • 最大値 f(2)=7
   • 最小値 f(-1)=-20

   となる。

y=x²-4ax+a² の右辺を平方完成すると y=(x-2a)²-3a² となるので、このグラフの軸は x=2a である。

1. 

   放物線の軸 x=2a が定義域の左端 x=-5 よりさらに左にあればよい。よって 2a<-5 ⇔ a<-5/2

   • y 座標が最大となるのは定義域の右端なので、最大値 a²-20a+25（ x=5 のとき）
   • y 座標が最小となるのは定義域の左端なので、最小値 a²+20a+25（ x=-5 のとき）

2. 

   放物線の軸 x=2a が定義域の右端 x=5 よりさらに右にあればよい。 5<2a ⇔ 5/2<a

   • y 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 a²+20a+25（ x=-5 のとき）
   • y 座標が最小となるのは定義域の右端なので、最小値 a²-20a+25（ x=5 のとき）

3. 

   放物線の軸 x=2a が定義域の中にあるためには -5≦2a≦5 ⇔ -5/2≦a≦5/2 さらに、定義域の左端で y 座標が最大となるには、軸が定義域の右半分に存在すればよい。つまり 0≦2a≦5 ⇔ 0≦a≦5/2

   • y 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 a²+20a+25（ x=-5 のとき）
   • y 座標が最小となるのは C の頂点なので、最小値 -3a²（ x=2a のとき）

y=f(x) を平方完成して y=(x-2)²+1 となるので、このグラフをもとに問に答える。

1. 1. 

      0<a<2 のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、次の図の放物線の実線部分となる。この定義域内では、関数の値は減少するから、最小値は f(a)=a²-4a+5 となる。

   2. 

      2≦a のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、上の図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域内に軸 x=2 が含まれるから、最小値は f(2)=1 となる。

   以上i、iiをまとめると

   • 0<a<2 のとき、最小値 f(a)=a²-4a+5
   • 2≦a のとき、最小値 f(2)=1

2. 1. 

      0<a<4 のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、次の図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の y 座標を比べると、左端の方が大きい。よって、最大値は f(0)=5 となる。

   2. 

      4≦a のとき 0≦x≦a におけるこの関数のグラフは、上の図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の y 座標を比べると、右端の方が大きい（ a=4 のときは両端が等しい）。よって、最大値は f(a)=a²-4a+5 となる。

   以上i、iiをまとめると

   • 0<a<4 のとき、最大値 f(0)=5
   • 4≦a のとき、最大値 f(a)=a²-4a+5

1. 20cm の針金を、4xcm と (20-4x)cm に切り分けたとする。ただし、 0<x<5 とする。

   それぞれの針金から作られる正方形の面積は 4x/4×4x/4=x×x (20-4x)/4×(20-4x)/4=(5-x)×(5-x) となるから、これら2つの正方形の面積の和を f(x)(cm²) とすると f(x)=x²+(5-x)² =x²+25-10x+x² =2x²-10x+25 となる。ここで、f(x) は f(x)=2{(x-5/2)²-25/4}+25 =2(x-5/2)²+25/2

   

   と変形できるから、 y=f(x) のグラフは 0<x<5 で上の図のようになる。

   これより最小値は f(5/2) であるから、面積の和の最小値は 25/2cm² であり、 x=5/2 のとき最小値となるのだから、針金は 10cmずつに切り分けられる。

2. 売価を1個 x 円（ 120≦x≦320）とすると、120 円より (x-120) 円値上げしたことになる。その結果、1日の売上個数は、 2(x-120) 個減る。ここで、値上げを考えているので 120≦x であり、また、1日の売上個数 400-2(x-120)=640-2x は 0 以上でなければならないから x≦320 である。

   よって、1日の売上金額 f(x) は f(x)=x{400-2(x-120)} =x(640-2x) =-2x²+640x となる。ここで、f(x) は f(x)=-2(x²-320x) =-2{(x-160)²-25600} =-2(x-160)²+51200

   

   と変形できるから、 y=f(x) のグラフは 120≦x≦320 で上の図のようになる。

   これより、最大値は f(160) をとるには、 x=160。つまり、売価を 160 円にすればよい。