条件の結合の練習問題（全3問・解答つき）

「x は 1 である」の否定は「x は 1 ではない」、よって x≠1

「x は-2 以上である」の否定は「x は -2 以上ではない」、つまり「x は -2 より小さい」、よって x<-2

「x と y を足したものは 0 より大きい」の否定は「x と y を足したものは 0 より大きくはない」、つまり「x と y を足したものは 0 以下である」、よって x+y≦0

「x は無理数である」の否定は「x は無理数ではない」、つまり

「x は有理数である」

p(x) ⇔ x(x-2)=0 ⇔ x=0∨x=2 これより

• p(x)⇒q(x) は偽　（反例 x=0）
• p(x)q(x) は真

となるので、［A］ には(ア)が入る。

積 xy が 0 以下になるのは、x,y の符号が異なるときか、少なくとも一方が 0 のときだから q(x, y) ⇔ (x≧0∧y≦0)∨(x≦0∧y≧0) これより

• p(x, y)⇒q(x, y) は真
• p(x, y)q(x, y) は偽　（反例 x=-1 かつ y=1 など）

となるので、［B］ には(イ)が入る。

p(x, y) に関して、まず xy=0 ⇔ x=0∨y=0 このうち、さらに x+y=0 を満たす x,y は x=0 かつ y=0 である。これより

• p(x, y)⇒q(x, y) は真
• p(x, y)q(x, y) は真

つまり、 p(x, y)⇔q(x, y) であるから、［C］ には(ウ)が入る。

• p(x)⇒q(x) は偽　（反例 x=1）
• p(x)q(x) は偽　（反例 x=-1 など）

となるので、［D］ には(エ)が入る。

否定は「ある x について、 x²<0 である」。実数の2乗は 0 以上なので、もとの命題が真。

否定は「すべての x について、 x²≠-1 である」。実数の2乗が負になることはないので、否定した命題が真。

否定は「ある n について、n は偶数であるが n² は 4 の倍数でない」。n が偶数のとき n=2k（k は整数）とおけ、 n²=4k² は 4 の倍数となるので、もとの命題が真。

否定は「ある x について、 x²=9 であるが x≠3 である」。 x=-3 がこれを満たすので、否定した命題が真。

否定は「すべての n について、 n²≠2 である」。 n²=2 となる整数 n は存在しないので、否定した命題が真。