いろいろな証明法の練習問題（全5問・解答つき）

1. この命題の対偶は

   「すべての整数 m,n について、m または n が偶数であるならば mn は偶数である」

   となる。

   偶数 m はある整数 k を用いて、 m=2k と表すことができるから mn=2kn となり、mn は偶数である。

   n が偶数である場合も、ある整数 l を用いて、 n=2l と表すことができるから、 mn=2ml となり、mn は偶数である。

   以上より、対偶の命題が証明されたので、もとの命題

   「すべての整数 m,n について、mn が奇数ならば m,n はともに奇数である」

   も証明された。

2. この命題の対偶は

   「すべての実数 x,y について、 x≠0 または y≠0 であるならば x²+y²≠0 である」

   となる。

   まず、一般に実数 x において、 x²≧0 であり、 x²=0 となるのは x=0 のときに限る。これは実数 y についても同様である。

   いま、実数 x が x≠0 のとき、 x²>0 となるから x²+y²>0 となり、 x²+y²≠0 である。

   また、実数 y が y≠0 のとき、 y²>0 であるから x²+y²>0 となり、 x²+y²≠0 である。

   以上より、対偶の命題が証明されたので、もとの命題

   「すべての実数 x,y について、 x²+y²=0 ならば x=0 かつ y=0 である」

   も証明された。

1. 3つの整数 a,b,c の全てが奇数であると仮定する。

   「a,b,c のうち少なくとも1つは偶数である」の否定は「a,b,c の全てが奇数である」となる

   このとき、a²,b²,c² もすべて奇数である。ここで、左辺 a²+b² は奇数どうしの和であるから偶数となるが、右辺 c² は奇数であり、 a²+b²=c² を満たすことと矛盾する。

   よって、a,b,c のうち少なくとも1つは偶数である。

2. 3つの内角の全てが 60° 未満であると仮定する。

   「少なくとも1つは 60° 以上である」の否定は「全てが 60° 未満である」となる

   このとき、3つの内角の和は 180° 未満となり、三角形の内角の和が 180° であることと矛盾する。

   三角形の内角のうち、少なくとも1つは 60° 以上である。

1. x+3 が a という有理数であると仮定すると x=a-3

   有理数どうしの差は有理数である

   より、x は有理数となる。

   これは、x が無理数であることに矛盾する。よって、 x+3 は無理数である。

2. 3x が b という有理数であると仮定すると x=b/3

   有理数どうしの比（分数）は有理数である

   より、x は有理数となる。

   これは、x が無理数であることに矛盾する。よって、3x は無理数である。

実数のうち、有理数でないものを無理数という。実数、無理数について詳しくはいろいろな数を参照のこと。