三角比の拡張の練習問題（全7問・解答つき）

1. 

   図のように、上半分の単位円周上において、x 座標が -√3/2 である点を取る。

   このとき、△OPQ は辺の長さが 1:2:√3 の直角三角形なので ∠POQ=30° つまり、 θ=180°-30°=150°。

2. 

   図のように、上半分の単位円周上において、y 座標が √2/2 である点を取る。

   そのような点は2つ存在し、△OPQ、△OP'Q' とも 直角二等辺三角形であるので ∠POQ=45° , ∠P'OQ'=45° つまり、 θ=45°、または、 θ=180°-45°=135°。

3. 

   動径の傾きが tan に一致するので、図のように、傾き -√3 の直線を引く。

   △OPQ は辺の長さが 1:2:√3 の直角三角形なので ∠POQ=60° つまり、 θ=180°-60°=120°。

4. 

   上半分の単位円周上において、y 座標が 1 である点を取ればよい。

   このとき、図より、 θ=90°。

1. 

   上半分の単位円周上において (x座標の値)≦-√3/2 であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 150°≦θ≦180°。

2. 

   上半分の単位円周上において (y座標の値)>√2/2 であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 45°<θ<135°。

3. 

   上半分の単位円周上において (動径の傾き)>-√3 であればよい。ただし、 θ=90° のときは動径が y 軸に重なり、その傾き、つまり tanθ が定義されないので除く。そのようになるのは、図の太線部分であるので 0°≦θ<90°,120°<θ≦180°。

sin²α+cos²α=1 cos²α=1-sin²α=1-(3/5)²=16/25 よって、 cosα=±√(16/25)=±4/5。α が鋭角の場合と鈍角の場合の両方があり得るので、符号は1つに決まらない。

また、 tanα=sinα/cosα より、

cosα=4/5のときtanα=(3/5)/(4/5)=3/4 cosα=-4/5のとき tanα=(3/5)/(-4/5)=-3/4 2.

sin²α+cos²α=1 より sin²α=1-cos²α=1-(1/3)²=8/9

sinα≧0 なので、 sinα=√(8/9)=2√2/3。

また、 tanα=sinα/cosα より tanα=(2√2/3)/(1/3)=2√2 3.

tan²α+1=1/cos²α より cos²α=1/(1+tan²α)=1/(1+7²)=1/50 よって、 cosα=±√(1/50)=±√2/10 である。

また、 tanα=sinα/cosα より 7=sinα/(±√2/10) ∴sinα=7×(±√2/10)=±7√2/10

0α であるので、 sinα=-7√2/10 は不適。

よって cosα=√2/10 , sinα=7√2/10

(sin θ+cosθ)²+(sinθ-cosθ)² =sin²θ+2sinθ+cos²θ +sin²θ -2sinθ+cos²θ =2(sin²θ+cos²θ) =2 2.

cosθ/(1+sinθ)-cosθ/(1-sinθ) =(cosθ(1-sinθ)-cosθ(1+sinθ))/(1+sinθ)(1-sinθ) =(-2cosθ)/(1-sin²θ) =-2cosθ/cos²θ =-2sinθ/cosθ =-2tanθ

sin100°=sin(90°+10°)=cos10° 2.

cos179°=cos(90°+89°)=-sin89° 3.

tan125°=tan(90°+35°)=-1/tan35°

sin100°=sin(180°-80°)=sin80° 2.

cos179°=cos(180°-1°)=-cos1° 3.

tan125°=tan(180°-55°)=-tan55°