三角比の拡張の練習問題（全7問・解答つき）

図のように、上半分の単位円周上において、x 座標が -√3/2 である点を取る。

このとき、△OPQ は辺の長さが 1:2:√3 の直角三角形なので ∠POQ=30° つまり、 θ=180°-30°=150°。

図のように、上半分の単位円周上において、y 座標が √2/2 である点を取る。

そのような点は2つ存在し、△OPQ、△OP'Q' とも 直角二等辺三角形であるので ∠POQ=45° , ∠P'OQ'=45° つまり、 θ=45°、または、 θ=180°-45°=135°。

動径の傾きが tan に一致するので、図のように、傾き -√3 の直線を引く。

△OPQ は辺の長さが 1:2:√3 の直角三角形なので ∠OPQ=60° つまり、 θ=180°-60°=120°。

上半分の単位円周上において、y 座標が 1 である点を取ればよい。

このとき、図より、 θ=90°。

上半分の単位円周上において (x座標の値)≦-√3/2 であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 150°≦θ≦180°。

上半分の単位円周上において (y座標の値)>√2/2 であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 45°<θ<135°。

上半分の単位円周上において (動径の傾き)>-√3 であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 0°≦θ<90°,120°<θ≦180°。

拡張された三角比の相互関係より

sin²α+cos²α=1 cos²α=1-sin²α=1-(3/5)²=16/25 よって、 cosα=±√(16/25)=±4/5。

拡張された三角比の相互関係より

また、 tanα=sinα/cosα より、

cosα=±4/5, tanα=±3/4（複合同順）と書いてもよい

cosα=4/5のときtanα=(3/5)/(4/5)=3/4 cosα=-4/5のとき tanα=(3/5)/(-4/5)=-3/4

拡張された三角比の相互関係より

sin²α+cos²α=1 より sin²α=1-cos²α=1-(1/3)²=8/9

0°≦α≦180° のとき、定義から sinα≧0。

sinα≧0 なので、 sinα=√(8/9)=2√2/3。

拡張された三角比の相互関係より

また、 tanα=sinα/cosα より tanα=(2√2/3)/(1/3)=2√2

拡張された三角比の相互関係より

tan²α+1=1/cos²α より cos²α=1/(1+tan²α)=1/(1+7²)=1/50 よって、 cosα=±√(1/50)=±√2/10 である。

拡張された三角比の相互関係より

また、 tanα=sinα/cosα より 7=sinα/(±√2/10) ∴sinα=7×(±√2/10)=±7√2/10

tanα の値が正であるから、cosα の値も正である

0α であるので、 sinα=-7√2/10 は不適。

よって cosα=√2/10 , sinα=7√2/10

拡張された三角比の相互関係より

(sin θ+cosθ)²+(sinθ-cosθ)² =sin²θ+2sinθ+cos²θ +sin²θ -2sinθ+cos²θ =2(sin²θ+cos²θ) =2

拡張された三角比の相互関係より

cosθ/(1+sinθ)-cosθ/(1-sinθ) =(cosθ(1-sinθ)-cosθ(1+sinθ))/(1+sinθ)(1-sinθ) =(-2cosθ)/(1-sin²θ) =-2cosθ/cos²θ =-2sinθ/cosθ =-2tanθ

sin(90°+θ)=cosθ

sin100°=sin(90°+10°)=cos10°

cos(90°+θ)=-sinθ

cos179°=cos(90°+89°)=-sin89°

tan(90°+θ)=-1/tanθ

tan125°=tan(90°+35°)=-1/tan35°

sin(180°-θ)=sinθ

sin100°=sin(180°-80°)=sin80°

cos(180°-θ)=-cosθ

cos179°=cos(180°-1°)=-cos1°

tan(180°-θ)=-tanθ

tan125°=tan(180°-55°)=-tan55°