三角比の拡張の練習問題

Question 1

上の図をもとに下の表を完成させよ。
| θ | | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | | | | | | | | | | |
| cosθ | | | | | | | | | | |
| tanθ | | | | | | | | | | |

Accepted Answer

| θ | | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cosθ | | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tanθ | | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | なし |
| θ | | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| cosθ | | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 |
| tanθ | | -√3 | -1 | -1/√3 | 0 |

Question 2

以下の式を満たす θ を求めよ。ただし 0°≦θ≦180° とする。
(1) cosθ =-√3/2
(2) sinθ=√2/2
(3) tanθ=-√3
(4) sinθ=1

Accepted Answer

(1) ［図：座標平面上に原点Oを中心とする半径1の半円があり、直線x=-√3/2と半円の交点をP、x軸へ下ろした垂線の足をQとします。OPの長さは1、OQの長さは√3/2で、動径OPが表す角はθです。］
図のように、上半分の単位円周上において、x 座標が -√3/2 である点を取る。
このとき、△OPQ は辺の長さが 1:2:√3 の直角三角形なので
∠POQ=30°
つまり、θ=180°-30°=150°。
(2) ［図：座標平面上に描かれた単位円の上半分の弧と、直線 y=(√2)/2 との2つの交点を P, P' とし、線分 OP, OP' および各点から x 軸に下ろした垂線 PQ, P'Q' が示されている。］
図のように、上半分の単位円周上において、y 座標が √2/2 である点を取る。
そのような点は2つ存在し、△OPQ、△OP'Q' とも 直角二等辺三角形であるので
∠POQ=45° , ∠P'OQ'=45°
つまり、θ=45°、または、θ=180°-45°=135°。
(3) ［図：座標平面上に原点を中心とする半径1の半円と直線 y=-√3x が描かれている。その交点をP、Pからx軸に下ろした垂線の足をQとし、x軸の正の部分と動径OPのなす角をθとしている。］
動径の傾きが tan に一致するので、図のように、傾き -√3 の直線を引く。
△OPQ は辺の長さが 1:2:√3 の直角三角形なので
∠POQ=60°
つまり、θ=180°-60°=120°。
(4) ［図：座標平面上に半径1の単位円の上半分があり、点(0, 1)を通る直線 y=1 が引かれている。x軸の正の部分からy軸の正の部分までのなす角が θ で示されている。］
上半分の単位円周上において、y 座標が 1 である点を取ればよい。
このとき、図より、θ=90°。
有名角の三角比に限れば、三角比から角度を求めるときと、角度から三角比を求めるときに重要なことは、次のことに限られる。
つまり、条件に合うよう単位円と動径を描き、うまく垂線を引いて
- 3辺の長さが 1, √2/2, √2/2 の直角三角形を作ることができる。
- 3辺の長さが 1, √3/2, 1/2 の直角三角形を作ることができる。
- 直角三角形を作る必要はない。
のいずれに当てはまるかを判断することである。

Question 3

以下の式を満たす θ を求めよ。ただし 0°≦θ≦180° とする。
(1) cosθ≦-√3/2
(2) sinθ√2/2
(3) tanθ-√3

Accepted Answer

(1) ［図：座標平面上に半径1の上半分の単位円があり、直線 x=-√3/2 より左側の領域が塗られている。動径OPが表す角150°の点Pから、点(-1,0)までの円弧が太線で示されている。］
上半分の単位円周上において
(x座標の値)≦-√3/2
であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 150°≦θ≦180°。
(2) ［図：座標平面上の単位円の上半分において、直線 y=√2/2 より上の領域が着色されている。円周上の角 45°の点Pから 135°の点P'までの、両端が白丸の円弧が太線で示されている。］
上半分の単位円周上において
(y座標の値)√2/2
であればよい。そのようになるのは、図の太線部分であるので 45°<θ<135°。
(3) ［図：xy平面上の単位円の上半分のうち、点(1, 0)から点(0, 1)の手前までの弧と、直線y=-√3xとの交点Pから点(-1, 0)までの弧が太線で描かれ、角xOPの大きさが120°と示されている。］
上半分の単位円周上において
(動径の傾き)-√3
であればよい。ただし、θ=90° のときは動径が y 軸に重なり、その傾き、つまり tanθ が定義されないので除く。そのようになるのは、図の太線部分であるので 0°≦θ<90°,120°<θ≦180°。
注 三角比を含む不等式では、いきなり範囲を求めようとしなくてよい。まず不等号を等号に変えた cosθ=-√3/2、tanθ=-√3 などを解いて、境目になる角（150°、120°）を出す。そのうえで単位円を描き、条件に合う x 座標・y 座標・傾きの範囲を太線でなぞってから、その太線に対応する θ の範囲を読めばよい。3 のように tanθ が定義されない角があるときは、その角を除くのを忘れないようにしよう。

Question 4

拡張された三角比の相互関係を使って次の問に答えよ。ただし 0°≦α≦	180° である。
(1) sinα=3/5 のとき、cosα、tanα の値を求めよ。
(2) cosα=1/3 のとき、sinα、tanα の値を求めよ。
(3) tanα=7 のとき、cosα、sinα の値を求めよ。

Accepted Answer

(1) （注） 拡張された三角比の相互関係より
sin²α+cos²α=1
cos²α=1-sin²α=1-(3/5)²=16/25
よって、cosα=±√(16/25)=±4/5。α が鋭角の場合と鈍角の場合の両方があり得るので、符号は1つに決まらない。
（注） 拡張された三角比の相互関係より
また、tanα=sinα/cosα より、
（注） cosα=±4/5, tanα=±3/4（複合同順）と書いてもよい
cosα=4/5のときtanα=(3/5)/(4/5)=3/4
cosα=-4/5のとき
tanα=(3/5)/(-4/5)=-3/4
(2) （注） 拡張された三角比の相互関係より
sin²α+cos²α=1 より
sin²α=1-cos²α=1-(1/3)²=8/9
（注） 0°≦α≦180° のとき、定義から sinα≧0。
sinα≧0 なので、sinα=√(8/9)=2√2/3。
（注） 拡張された三角比の相互関係より
また、tanα=sinα/cosα より
tanα=(2√2/3)/(1/3)=2√2
(3) （注） 拡張された三角比の相互関係より
tan²α+1=1/cos²α より
cos²α=1/(1+tan²α)=1/(1+7²)=1/50
よって、cosα=±√(1/50)=±√2/10 である。
（注） 拡張された三角比の相互関係より
また、tanα=sinα/cosα より
7=sinα/(±√2/10)
∴sinα=7×(±√2/10)=±7√2/10
（注） tanα の値が正であるから、cosα の値も正である
0α であるので、sinα=-7√2/10 は不適。
よって
cosα=√2/10 , sinα=7√2/10

Question 5

次の式を簡単にせよ。
(1) (sinθ+cosθ)²+(sinθ-cosθ)²
(2) cosθ/(1+sinθ)-cosθ/(1-sinθ)

Accepted Answer

(1) （注） 拡張された三角比の相互関係より
(sin θ+cosθ)²+(sinθ-cosθ)²
=sin²θ+2sinθ+cos²θ
+sin²θ -2sinθ+cos²θ
=2(sin²θ+cos²θ)
=2
(2) （注） 拡張された三角比の相互関係より
cosθ/(1+sinθ)-cosθ/(1-sinθ)
=(cosθ(1-sinθ)-cosθ(1+sinθ))/(1+sinθ)(1-sinθ)
=(-2cosθ)/(1-sin²θ)
=-2cosθ/cos²θ
=-2sinθ/cosθ
=-2tanθ

Question 6

次の式を満たすように ［A］ の中に 90° より小さい角を入れよ。
(1) sin100°=cos［A］
(2) cos179°=-sin［A］
(3) tan125°=-1/tan［A］

Accepted Answer

(1) （注） sin(90°+θ)=cosθ
sin100°=sin(90°+10°)=cos10°
(2) （注） cos(90°+θ)=-sinθ
cos179°=cos(90°+89°)=-sin89°
(3) （注） tan(90°+θ)=-1/tanθ
tan125°=tan(90°+35°)=-1/tan35°

Question 7

次の式を満たすように ［A］ の中に 90° より小さい角を入れよ。
(1) sin100°=sin［A］
(2) cos179°=-cos［A］
(3) tan125°=-tan［A］

Accepted Answer

(1) （注） sin(180°-θ)=sinθ
sin100°=sin(180°-80°)=sin80°
(2) （注） cos(180°-θ)=-cosθ
cos179°=cos(180°-1°)=-cos1°
(3) （注） tan(180°-θ)=-tanθ
tan125°=tan(180°-55°)=-tan55°

$θ$		$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$
$sinθ$
$cosθ$
$tanθ$

$θ$	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$sinθ$	$0$	$1/2$	$\sqrt2/2$	$\sqrt3/2$	$1$
$cosθ$	$1$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	$0$
$tanθ$	$0$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$	なし

$θ$	$120°$	$135°$	$150°$	$180°$
$sinθ$	$\sqrt3/2$	$\sqrt2/2$	$1/2$	$0$
$cosθ$	$-1/2$	$-\sqrt2/2$	$-\sqrt3/2$	$-1$
$tanθ$	$-\sqrt3$	$-1$	$-1/\sqrt3$	$0$

三角比の拡張の練習問題（全7問・解答つき）

問題1有名角の三角比

問題2三角比を含む方程式

問題3三角比を含む不等式

問題4拡張された三角比の相互関係の利用

問題5三角比の計算

問題6 $90°+θ$ の三角比の利用

問題7 $180°-θ$ の三角比の利用