空間図形の計量の練習問題（全4問・解答つき）

1. △OAB、△OBC、△OCA それぞれに、三平方の定理を用いて AB=√13 BC=3√5 CA=2√10
2. △ABC に点 C からみる余弦定理を用いて cosθ=(CA²+CB²-AB²)/2CA・CB =(40+45-13)/2・2√10・3√5=3√2/5
3. 2より sinθ=√(1-cos²θ) =√(1-(3√2/5)²) =√(1-18/25)=√7/5 だから、1より △ABC の面積 S は S=1/2CA・CBsinθ =1/2・2√10・3√5・√7/5 =3√14

上の例題で、△OAB、△OBC、△OCA の面積をそれぞれ S1、 S2、S3 とおくと S1²+S2²+S3²=S² が成り立っているのが確認できる。この関係は、一般の直角三角錐で成り立ち、三平方の定理の空間版といえるものである。

1. △OBC に正弦定理を用いて

   

   OB/sin45°=6/sin60° ⇔ OB=sin45°/sin60°×6 =(√2/2)/(√3/2)×6 =2√6

2. OA=OBsin60°=2√6・√3/2=3√2

3. まず、△OBC に点 B からみる第1余弦定理を用いて

   

   OC=BOcos∠BOC+BCcos∠BCO =2√6cos60°+6cos45° =2√6・1/2+6・√2/2=√6+3√2 これより、△OAC に三平方の定理を用いて AC=√(OC²-OA²) =√((√6+3√2)²-(3√2)²) =√(6+12√3) △ √(6+12√3) はこれ以上簡単にならない

4. まず、 AB=OBcos60°=2√6・1/2=√6。

   

   これより、△ABC に ∠ABC からみる余弦定理を用いて cosθ=(AB²+BC²-AC²)/2AB・BC =(6+36-(6+12√3))/2・√6・6 =(√6-√2)/2

1. ∠CBD=60° であるから

   三角形の面積参照

   S=1/2BD・BCsin60° =1/2・1・1・√3/2=√3/4

2. まず、辺 BC の中点を M とおくと、 AM⊥BC、 DM⊥BC となり、H は、A から MD におろした垂線の足であるとわかる。

   

   

   まず、△ABM に三平方の定理を用いて AM²=AB²-BM² =1²-(1/2)² =3/4 よって、 AM=√3/2。同様に、 DM=√3/2 である。

   

   次に、 ∠AMD=θ とおくと、△AMD に点 M からみる余弦定理 AD²=MA²+MD²-2MA・MDcosθ を用いて cosθ=(MA²+MD²-AD²)/2MA・MD =(3/4+3/4-1²)/2(√3/2)²=1/3

   拡張された三角比の相互関係参照

   であり、 sin²θ+cos²θ=1 より sinθ=√(1-cos²θ) =√(1-(1/3)²) =2√2/3

   

   よって、AH の長さは AH=AMsinθ=√3/2・2√2/3=√6/3

   【別解：H が △BCD の重心であることを使う】

   まず、辺 BC の中点を M とおくと、 AM⊥BC となるので、△ABM に三平方の定理を用いて AM²=AB²-BM² =1²-(1/2)² =3/4 よって、 AM=√3/2。同様に、 DM=√3/2 である。

   ここまでは上の解答と共通

   次に、正四面体の対称性から、点H は △BCD の重心となるので MH:HD=1:2、つまり MH=1/3DM=√3/6

   

   最後に、△AMH に三平方の定理を用いて AH² =AM²-MH²=3/4-3/36 =(27-3)/36=2/3 よって、 AH=√(2/3)=√6/3 となる。

3. 内接球の中心の点を O とし、その半径を r とおく。このとき、正四面体は4つの正三角錐 OABC、OACD、OADB、OBCD に分けることができる。

   

   これらの正三角錐の体積は、どれも 1/3×S×r であるから、正四面体 ABCD の体積 V は V=4×1/3・√3/4r =√3r/31 また、1、2より正四面体 ABCD の体積 V は V=1/3×S×AH =1/3・√3/4・√6/3 =√2/122 よって、、 より √3r/3=√2/12 ⇔ r=√6/12

4. M を辺 BC の中点にとり、H、H' を右図のようにとる。

   

   図形の対称性から、外接球の中心 O は AH 上および DH' 上にあるのがわかる。

   H は △BCD の重心だから DH=DM×2/3=√3/2×2/3=√3/3 となる。同様に、 AH'=√3/3 である。

   ここで、 AO=r とおくと、 △AH'O∽△AHM より AH':AO=AH:AM ∴√3/3:r=√6/3:√3/2 ⇔ √6/3r=1/2 ⇔ r=3/2√6=√6/4

1. 

   辺 AB の中点を M とおくと、△OAB、△HAB は共に二等辺三角形であるから、 OM⊥AB、 HM⊥AB である。よって、∠OMH が底面と側面のなす角 α である。

   いま、直角三角形 OMH において、 OH=HM=1 より、 α=45^ となる。これは、他の側面についても同様である。

2. ∠OBA=θ とおくと、三平方の定理より

   

   OB=√(OH²+BH²) =√(1²+(√2)²) =√3 OM=√2 である。

   △OBM に着目して、 sinθ=OM/OB=√2/√3=√6/3 となる。ここで、△ABE に着目すれば、 AE=ABsinθ=2・√6/3=2√6/3 である。

3. 

   △OAB≡△OCB であり、 AE⊥OB より、 CE⊥OB。よって、∠AEC が求める角 β である。

   △AEC に点 E からみる余弦定理を用いると cosβ=(AE²+CE²-AC²)/2AE・CE =(2AE²-AC²)/2AE² =1-(2√2 )²/2(2√6/3)² =-1/2 よって、 β=120^ となる。