数学I 第7章 本文の補足 I — 複2次式の因数分解について

複2次式の因数分解について

複2次式の因数分解について

簡単のため、複2次式 ax⁴+bx²+c を a(x⁴+b/ax²+c/a) と変形し、 b/a=A、 c/a=B とおいた x⁴+Ax²+B ① という複2次式の因数分解について考える

1. x²=X とおく方法で因数分解できる条件 x⁴+Ax²+B =X²+AX+B =(X+A/2)²-A²/4+B =(X+A/2)²-(A²-4B)/4 より、 A²-4B≧0 ならば ○²-△² タイプの因数分解が可能となる。
2. x⁴ と B に着目する方法で因数分解できる条件 x⁴+Ax²+B =x⁴+B+Ax² ここで、 B>0 ならば =(x²+√B)²-2√Bx²+Ax² =(x²+√B)²-(2√B-A)x² また、 2√B-A>0 となるのは 2√B>A ⇔(A<0)または(A≧0かつ4B>A²) ⇔(A<0かつ(A²-4B≧0 またはA²-4B<0)) または(A≧0かつA²-4B<0) のときであるから、条件を整理すると (B>0かつA<0かつ(A²-4B≧0 またはA²-4B<0)) または (B>0かつA≧0かつA²-4B<0) のときである。

以上 1、2 を因数分解の手法として覚えやすくまとめると

A²-4B≧0 のときは、 x²=X とおくことにより因数分解でき、 A²-4B<0 のときは x⁴ と B に着目して変形することにより因数分解できる。特に、 A²-4B≧0 かつ A<0 かつ B≧0 のときには、どちらの方法でも因数分解できる。

となる。

最終更新: 2026-08-09