数学I 第7章本文の補足 I — 複2次式の因数分解について

複2次式の因数分解について

簡単のため、複2次式 $ax⁴+bx²+c$ （ $a\neq0$ ）を $a(x⁴+(b/a)x²+c/a)$ と変形し、 $b/a=A$ 、 $c/a=B$ とおいた $x⁴+Ax²+B ①$ という複2次式の因数分解について考える

なお、以下では無理数の係数も許して、実数の範囲で因数分解するものとする。

$x²=X$ とおく方法で因数分解できる条件 $x⁴+Ax²+B =X²+AX+B =(X+A/2)²-A²/4+B =(X+A/2)²-(A²-4B)/4$ より、 $A²-4B≧0$ ならば $○²-△²$ タイプの因数分解が可能となる。逆に、 $A²-4B<0$ のときは $-(A²-4B)/4$ が正となるので、 $○²-△²$ タイプにはならず、この方法では因数分解できない。
$x⁴$ と $B$ に着目する方法で因数分解できる条件 $x⁴+Ax²+B =x⁴+B+Ax²$ ここで、 $B>0$ ならば $=(x²+\sqrtB)²-2\sqrtBx²+Ax² =(x²+\sqrtB)²-(2\sqrtB-A)x²$ この $2\sqrtB-A$ が正ならば $(2\sqrtB-A)x²=(\sqrt(2\sqrtB-A) x)²$ と平方の形になるので、 $○²-△²$ タイプの因数分解が可能となる。また、 $2\sqrtB-A>0$ となるのは $またはかつかつまたはまたはかつ 2\sqrtB>A \Leftrightarrow(A<0)または(A≧0かつ4B>A²) \Leftrightarrow(A<0かつ(A²-4B≧0 またはA²-4B<0)) または(A≧0かつA²-4B<0)$ のときであるから、条件を整理すると $かつかつまたは (B>0かつA<0かつ(A²-4B≧0 またはA²-4B<0))$ または $かつかつ (B>0かつA≧0かつA²-4B<0)$ のときである。ここで $A<0$ の場合を $A²-4B$ の符号でさらに2つに分けたのは、1の方法と重なる範囲を見やすくするためであり、どちらか一方は必ず成り立つので条件そのものは変わっていない。

以上 1、2 を因数分解の手法として覚えやすくまとめると

$A²-4B≧0$ のときは、 $x²=X$ とおくことにより因数分解でき、 $A²-4B<0$ のときは $x⁴$ と $B$ に着目して変形することにより因数分解できる。特に、 $A²-4B≧0$ かつ $A<0$ かつ $B≧0$ のときには、どちらの方法でも因数分解できる。

となる。

なお、 $A²-4B<0$ のときは $4B> A²≧0$ より $B>0$ が自動的に成り立つので、2の条件にあった $B>0$ はあらためて書かなくてよい。

最終更新: 2026-08-12

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