数学I 第3章 集合の基礎 — 写像

写像について

写像とは何か

ここでは、集合と集合の対応を調べることによって、写像や関数という考え方を学んでいこう。

例えば、東京駅からJRを使いさまざまな駅に向かうときの乗車券の料金は表のようになっている。

このことを「集合」を用いて表すことを考えよう。

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まず、向かう駅の集合 A を A={渋谷,新宿,横浜,仙台,大阪,博多,札幌} とし、料金の集合 B を B={190,450,5780,8510,13440,14070} とする。

このように集合 A、B を作ると、図のように A の各要素に B の要素が1つずつ対応する。

一般に、2つの集合 A、B において、ある規則によって A のどの要素にも、B の要素が1つずつ対応しているとき、この規則を A から B への写像 (mapping) といい、記号 f などを用いて f:AB と書く。

写像 f:AB において、集合 A を f の定義域 (domain of definition) という。

また、写像 f:AB によって、A の要素 a に対応する B の要素を f(a) と書き、これを f による a の像 (image)、または f の a における値 (value) という。

さらに、この像（値）全体の集合 {f(a)|a∈A} を写像 f の値域 (range) という。

先程の例でいうなら、定義域は A={渋谷,新宿,横浜,仙台,大阪,博多,札幌} であり、値域は B={190,450,5780,8510,13440,14070} である。

また、この対応を与えている規則 f による「横浜」の像、つまり f(横浜) は、450 である。

問題1定義域・値域

定義域 A を 10 以下の自然数とするとき、A の各要素に、その正の約数の個数を対応させる写像 f の値域 B を求めよ。

解答を見る

定義域 A は A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} である。

A の各要素の正の約数と、その個数は表のようにまとめられるので、値域 B は B={1,2,3,4} となる。

A	約数	約数の個数
1	1	1
2	1、2	2
3	1、3	2
4	1、2、4	3
5	1、5	2
6	1、2、3、6	4
7	1、7	2
8	1、2、4、8	4
9	1、3、9	3
10	1、2、5、10	4

いろいろな写像

1対1の写像（単射）

A からどのような要素 x、y をとってきても f(x)=f(y) が成り立つならば、 x=y であるとき f を1対1の写像 (one-to-one correspondence)、または単射 (injection) という。

上への写像（全射）

B のどのような要素 y に対しても f(x)=y となるような A の要素 x が存在するとき f を上への写像 (onto-mapping)、または全射 (surjection) という。

上への1対1の写像（全単射）

上への写像であり、かつ1対1の写像でもあるものを、上への1対1写像 (onto and one-to-one correspondence)、または全単射 (bijection) という。

特に、集合 A から集合 A への全単射のことを、置換 (substitution) ともいう。

最終更新: 2026-08-10