等式の証明の練習問題（全10問・解答つき）

1. 左辺を展開すると

   (左辺)

   \begin{eqnarray} &=&x^2+4x+3-5x-5\ &=&x^2-x-2\ &=&(x-2)(x+1)= \end{eqnarray}

   (右辺)

   ゆえに、

   恒等式である。

2. 両辺に、 x = 1,y = 0 を代入すると

   ← x = 1,y = 0 はひとつの例である

   (左辺) =(1+0)(1-0) +1²+2・ 1=4

   (右辺) =(1+0)²=1

   左辺の値と右辺の値が異なるので

   恒等式ではない。

3. 両辺に、 x = 1 を代入すると

   ← x = 1 はひとつの例である

   (左辺) =1/1+1/(1+1)=3/2

   (右辺) =1/1(1+1)=1/2

   左辺の値と右辺の値が異なるので

   恒等式ではない。

   以上から、恒等式は

   である。

1. 両辺の x² の係数を比較すると、 a=1 である。

   両辺の x の係数を比較すると、 b=3 である。

   両辺の定数項を比較すると、 c=0 である。

2. 両辺の x² の係数を比較すると、 a=1 である。

   x = 1 を代入すると

   ←右辺には x − 1 という形の式があるので、 x = 1 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&1^2=1(1-1)^2+b(1-1)+c\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{c=1} \end{eqnarray}

   また、 x = 0 を代入すると

   ← 0 以外の数でもかまわないが、一番計算が簡単にできる 0 を使った

   \begin{eqnarray} &&0^2=1(0-1)^2+b(0-1)+1\ &&\Leftrightarrow0=1-b+1\ &&\Leftrightarrow\boldsymbol{b=2} \end{eqnarray}

3. 両辺の x² の係数を比較すると、 a=1 である。

   x = 1 を代入すると

   ←右辺には x − 1 という形の式があるので、 x = 1を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&1^2=1\cdot1(1+1)+b(1-1)+c\ &&\Leftrightarrow2+c=1\ &&\Leftrightarrow\boldsymbol{c=-1} \end{eqnarray}

   また、 x = − 1 を代入すると

   ←右辺には x + 1 という形の式があるので、 x = − 1 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&(-1)^2=1(-1)(-1+1)\ &&\qquad+b(-1-1)-1\ &&\Leftrightarrow~-2b-1=1\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=-1} \end{eqnarray}

4. 両辺の x³ の係数を比較すると、 a=1 である。

   x = 1 を代入すると

   ←右辺には x − 1 という形の式があるので、 x = 1 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&1^3=a(1-1)^3+b(1-1)^2\ &&\qquad+c(1-1)+d\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{d=1} \end{eqnarray}

   右辺を展開すると

   (右辺)

   \begin{eqnarray} &&=1(x^3-3x^2+3x-1)\ &&\quad+b(x^2-2x+1)+cx-c+1 \ &&=x^3+(b-3)x^2\ &&\quad+(-2b+c+3)x+(b-c) \end{eqnarray}

   x² と x の項の係数を比較すると

   b-3=0 -2b+c+3=0

   この連立方程式を解くと、 b=3,c=3 となる。

   【別解：微分法を用いる】

   x = 1 を代入すると

   ←右辺には x − 1 という形の式があるので、 x = 1 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&1^3=a(1-1)^3+b(1-1)^2\ &&\qquad+c(1-1)+d\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{d=1} \end{eqnarray}

   与式の両辺を微分すると

   3x²=3a(x-1)² +2b(x-1)+c①

   これに x = 1 を代入すると

   ←右辺には x − 1 という形の式があるので、 x = 1 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   3・ 1²=3a(1-1)²+2b(1-1)+c

   ⇔ c=3

   ①の両辺をさらに微分すると

   6x=6a(x-1)+2b②

   これに x = 1を代入すると

   ←右辺には x − 1という形の式があるので、 x = 1を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&6\cdot 1=6a(1-1)+2b\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=3} \end{eqnarray}

   ②の両辺をさらに微分すると

   6=6a⇔ a=1

5. 右辺の x³ の係数は a なので、 a=1 である。

   x = 0 を代入すると

   d=0

   また、 x = − 1 を代入すると

   ←右辺には x + 1 という形の式があるので、 x = − 1 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&(-1)^3=1(-1)(-1+1)(-1+2)\ &&\qquad+b(-1)(-1+1)+c(-1)+0\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{c=1} \end{eqnarray}

   さらに、 x = − 2 を代入すると

   ←右辺には x + 2 という形の式があるので、 x = − 2 を代入することで不明な文字が少ない式をたてることができる

   \begin{eqnarray} &&(-2)^3=1(-2)(-2+1)(-2+2)\ &&\qquad+b(-2)(-2+1)+1(-2)+0\ &&\Leftrightarrow~\boldsymbol{b=-3} \end{eqnarray}

左辺を展開し、 k についてまとめると

(2x+y-1)k-x-y+3=0

これが k がいかなる値でも成り立つのは

2x+y-1=0 -x-y+3=0

のとき。

← (2x+y-1)k-x-y+3=0・ k+0 と考えて両辺の係数を比較した

この連立方程式を解くと x=-2,y=5 である。

1. 左辺を展開し整理すると

   （左辺）

   \begin{eqnarray} &&=x^2+2xy＋y^2-(x^2-2xy+y^2)\ &&=4xy= \end{eqnarray}

   (右辺)

   となる。

2. 両辺をそれぞれ展開し整理すると

   (左辺)

   =a²c²-a²d²-b²c²+b²d²

   (右辺)

   \begin{eqnarray} &&=a^2c^2+2abcd+b^2d^2\ &&\qquad\qquad-(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\ &&=a^2c^2-a^2d^2-b^2c^2+b^2d^2 \end{eqnarray}

   よって、(左辺) = 右辺)がいえる。

   ←「 A = C かつ B = C 」ならば「 A = B 」という論法を使った}

3. 左辺を変形して

   (左辺)

   \begin{eqnarray} &&=(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)\ &&=(x+1){(x^2+1)^2-x^2}\ &&=(x+1)(x^4+x^2+1)= \end{eqnarray}

   (右辺)

   となる。

1. 左辺を通分して計算していくと

   (左辺)

   =(x-2)/(x+2)(x-2)+(x+2)/(x+2)(x-2)

   =(x-2+x+2)/(x+2)(x-2)=2x/(x²-4)=

   (右辺)

   となる。

2. 両辺をそれぞれ通分して計算していくと

   (左辺)

   =(y+1)/(x+1)(y+1)+(x+1)/(x+1)(y+1)

   =(x+y+2)/(x+1)(y+1)

   (右辺)

   =(1-xy)/(x+1)(y+1)+(x+1)(y+1)/(x+1)(y+1)

   =(1-xy+xy+x+y+1)/(x+1)(y+1)

   =(x+y+2)/(x+1)(y+1)

   よって、(左辺) = (右辺)がいえる。

3. 左辺を通分して計算していくと

   (左辺)

   =(2x+6)/(x+2)(x+3)-(x+2)/(x+2)(x+3) +x/(x+2)(x+3)

   =(2x+4)/(x+2)(x+3)

   =2(x+2)/(x+2)(x+3)=2/(x+3)=

   (右辺)

   となる。

1. 左辺を変形すると

   （左辺） = a(a + b) = 0

   よって、（左辺） = （右辺）がいえる。

2. a + b = 0より、 b = − a なので

   （左辺） =a² − 2( − a)² = − a²

   （右辺） = a( − a) = − a²

   よって、（左辺） = （右辺）がいえる。

3. x + y = 1 より、 y = 1 − x なので

   （左辺） = x² + (1 − x)² + 1

   = x² + 1 − 2x + x² + 1 = 2(x² − x + 1)

   （右辺）=2x + (1 − x) − x(1 − x)

   = 2(x + 1 − x − x + x²) = 2(x² − x + 1)

   よって、（左辺） = （右辺）がいえる。

1. xy = 1 より、 x≠ 0 であるから、 y=1/x と変形できる。

   これを左辺にもちいると

   （左辺） =(x+x)(1/x+1/x)

   =2x・2/x

   =4= （右辺） となる。

2. x+1/x=3 を左辺にもちいると

   （左辺） =(x+1/x)²-2・ x・ 1/x

   =3²-2=7

   より、（左辺） = （右辺）である。

3. xyz = 1 より、 z=1/xy なので

   （左辺） =1/xy+1/(y・1/xy)+1/(1/xy・ x)

   =1/xy+x+y

   =x+y+z= （右辺）

   となる。

1. a = ck, b = dk とおくと

（左辺） =(c²k²+d²k²)/(c²+d²)

=k²(c²+d²)/(c²+d²)=k²

（右辺） =(b/d)²

=d²k²/d²=k²

より、（左辺） = （右辺）である。 2. a = ck, b = dk とおくと

（左辺）= (c²k²+c²)/(d²k²+d²)

=c²(k²+1)/d²(k²+1)=c²/d²

（右辺） =c²k/d²k=c²/d²

より、（左辺） = （右辺）である。 3. a = xk, b = yk, c = zk とおくと

（左辺）= (x²k²+y²k²+z²k²)/(x²+y²+z²)

=k²(x²+y²+z²)/(x²+y²+z²)=k²

（右辺） =(xyk²+yzk²+xzk²)/(xy+yz+zx)

=k²(xy+yz+xz)/(xy+yz+zx)=k²

より、（左辺） = （右辺）である。

x²+y²

=(x+y)²-2xy

=A²-2B

x³+y³+x+y

=(x+y)³-3xy(x+y)+(x+y)

=A³-3AB+A

1/x+1/y

=y/xy+x/xy

=(x+y)/xy

=A/B

y/x+x/y

=y²/xy+x²/xy

=(x²+y²)/xy