三角関数の加法定理とその応用の練習問題（全19問・解答つき）

1. 加法定理をもちいて

   sin15°=sin(45°-30°) =sin45°cos30°-cos45°sin30° =√2/2・√3/2-√2/2・1/2 =(√6-√2)/4 cos15°=cos(45°-30°) =cos45°cos30°+sin45°sin30° =√2/2・√3/2+√2/2・1/2 =(√6+√2)/4

2. 加法定理をもちいて

   sin5/12π=sin(π/4+π/6) =sinπ/4cosπ/6+sinπ/4cosπ/6 =√2/2・√3/2+√2/2・1/2 =(√6+√2)/4 cos5/12π=cos(π/4+π/6) =cosπ/4cosπ/6-sinπ/4sinπ/6 =√2/2・√3/2-√2/2・1/2 =(√6-√2)/4

1. OA=√5より，

   cosα=2/√5, sinα=1/√5．

2. 図のように書くことができ，

   

   X'(cosπ/3, sinπ/3)なのでX'(12, √3/2)．

   A'(√5cos(α+π/3), √5sin(α+π/3))であり，

   cos(α+π/3)=cosπ/3-sinπ/3 =2/√5・12 - 1/√5・√3/2 =(2-√3)/2√5 sin(α+π/3)=sinπ/3+cosπ/3 =1/√5・12 + 2/√5・√3/2 =(1+2√3)/2√5

   ←正弦と余弦の加法定理

   より，A'((2-√3)/2, (1+2√3)/2)．

   ←cos(α+π/3), sin(α+π/3)をそれぞれ√5倍した

1. 正接の加法定理より

   tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβ) =(5+3/2)/(1-5・3/2)=-1 tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ) =(5-3/2)/(1+5・3/2)=7/17

2. 0<α+β<πおよび， tan(α+β)=-1より， α+β=3/4πである．

1. 直線lとmの傾きはそれぞれ，2,1/3なので，

   tanα=2,tanβ=1/3である．

2. θ = β − αなので

   tanθ =tan(α-β) =(tanα-tanβ)/(1+tanβ) =(2-1/3)/(1+2・1/3) =1

   0≦θ≦π/2より， θ=π/4となる．

以下では，交わる2直線 y=m1x+n1,y=m2x+n2のなす鋭角θについて，一般的に考えてみよう．

図のように，直線を平行移動しても2直線のなす角は変わらないので， y=m1x,y=m2xの場合について考えてゆけばよい．

直線 y=m1 x, y=m2 xがx軸の正の向きとなす，正の角をそれぞれ α,β (α>β)とする．

正接の値は直線の傾きを表していたので， tanα=m1, tanβ=m2である．

いま，正接の加法定理から

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)=(m1-m2)/(1+m1m2)

と計算できる．

1. (m1-m2)/(1+m1m2)>0,すなわち 0<α-β <π/2のとき

   tanθ=tan(α-β)=(m1-m2)/(1+m1m2) (>0)

   

2. (m1-m2)/(1+m1m2)<0,すなわち π/2<α-β<πのとき

   tanθ=tan{π-(α-β)} =-tan(α-β) =-(m1-m2)/(1+m1m2) (>0)

   いずれにしても， tanθ > 0なので，次のようにまとめられる．

1. それぞれ傾きは 2, -1なので

   tanθ =|(2 -(-1))/(1+2・ (-1))| =|-3| =3

2. 傾きは2, mである2直線のなす角がπ/4なので

   tanπ/4=|(2 -m)/(1+2・ m)| ⇔ 1=|(2-m)/(2m+1)|

   よって， 2m+1=2-mまたは 2m+1=m-2であればよいので， m=1/3, -3．

t²=tan²x/2 =(1-cosx)/(1+cosx)より

(1+cosx) t² =1-cosx ⇔ (t² +1)cosx =1-t² ⇔ cosx=(1-t²)/(1+t²)

また，倍角の公式より

tanx=(2/2)/(1-tan²x/2)=2t/(1-t²)

なので

sinx=cosx tanx =(1-t²)/(1+t²)・ 2t/(1-t²)=2t/(1+t²)

ただし，αは図のような角度である．

y=cos²θ-2sinθ+1 =(1-sin²θ)-2sinθ+1

←拡張された三角関数の相互関係を用いてsinθにそろえた

sinθ = tとおく． 0≦θ<2πより -1≦t≦1なので

y=-t²-2t+2 =-(t+1)²+3 (-1≦ t ≦ 1)

←tについての2次関数の最大・最小の問題になった

図より，yは

t = − 1のとき最大値3, t = 1のとき最小値 − 1

をとる． t =sinθなので

θ=3/2πのとき最大値3

θ=π/2のとき最小値-1

sin²θ=cosθ+1 ⇔ 1-cos²θ=cosθ+1 ⇔ cos²θ+cosθ=0 ⇔ cosθ(cosθ+1)=0 ⇔ cosθ=0, -1

0≦θ<2πの範囲で cosθ=0, -1を満たすθは，図より θ=π/2, π, 3/2π．

2cos²θ+sinθ>2 ⇔ 2(1-sin²θ)+sinθ>2

←拡張された三角関数の相互関係を用いてcosθにそろえた．

⇔ -2sin²θ+sinθ>0 ⇔ sinθ(2sinθ-1)<0

←sin²θの係数を正にするため，両辺を− 1で割ってから因数分解した

⇔ 0<sinθ<1/2

0≦θ<2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は，図の太線部分である．すなわち

0<sinθ<π/6, 5/6π<θ<π

y==-cos2θ-2sinθ =-(1-2sin²θ)-2sinθ

←2倍角の公式を用いてsinθにそろえた．

sinθ=tとおく． 0≦θ<2πより -1≦t≦1なので

y=2t²-2t-1 =2(t-1/2)²-3/2

図より，yは

t = − 1のとき最大値3, t=1/2のとき最小値-2/3

をとる． t = sinθなので

θ=3/2πのとき最大値3

θ=π/6, 5/6πのとき最小値-2/3

sin2θ=cosθ ⇔ 2sinθ=cosθ ⇔ cosθ(2sinθ-1)=0 ⇔ cosθ=0, sinθ=1/2

←2倍角の公式を用いて共通因数を作った．

0≦θ<2πの範囲で cosθ=0, sinθ=1/2を満たすθは，図より

θ=π/6, π/2, 5/6π, 3/2π．

tan²θ/2=1-cosθ ⇔ (1-cosθ)/(1+cosθ)=1-cosθ ⇔ 1-cosθ=(1-cosθ)(1+cosθ) ⇔ cos²θ-cosθ=0 ⇔ cosθ(cosθ-1)=0 ⇔ cosθ=0, cosθ=1

←半角の公式を用いてcosθにそろえた．

0≦θ<2πの範囲で cosθ=0, cosθ=1を満たすθは，図より

θ=0, π/2, 3/2π．

cos2θ-cosθ≧0 ⇔ (2cos²θ-1)-cosθ≧0 ⇔ (2cosθ+1)(cosθ-1)≧0 ⇔ cosθ≦-1/2, 1≦cosθ

←2倍角の公式を用いてcosθでそろえた

0≦θ<2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は，図の網掛け部分である．すなわち

θ=0, 2/3π≦θ≦4/3π

cos²θ/2θ+1 ⇔ (1+cosθ)/2θ+1 ⇔ 1+cosθ≧2cosθ+2 ⇔ cosθ≦-1

←半角の公式を用いてcosθでそろえた

0≦θ<2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は，図の太線部分である．すなわち

θ=π．

1. 三角関数の合成より

   

   sinθ-√3cosθ=1 ⇔ 2{1/2sinθ +(-√3/2)cosθ}=1 ⇔ 2sin(θ-π/3)=1

   θ-π/3=θ'とおくと

   sinθ'=1/2．

   

   0≦θ<2πより， -π/3≦θ'<5/3πである． この範囲で sinθ'=1/2を満たすθ'は，図より

   θ'=1/6π, 5/6π．

   θ=θ'+π/3なので

   θ=1/2π, 7/6π．

2. 三角関数の合成より

   

   sinθ+cosθ<0 ⇔ √2(√2/2sinθ+√2/2cosθ)<0 ⇔ √2sin(θ+1/4π)<0

   θ+1/4π=θ'とおくと

   sinθ'<0．

   

   0≦θ<2πより， 1/4π≦θ'<9/4πなので，この範囲で上の不等式を満たすθ'は， 図の網掛け部分である．すなわち

   π<θ'<2π．

   θ=θ'-1/4πなので

   3/4π<θ<7/4π．

3. 三角関数の合成より

   

   y=sinθ+√3cos θ =2(12sinθ + √3/2cosθ) =2sin(θ+π/3)

   θ'=θ+π/3とおくと，

   この三角関数は y = 2sinθ'．

   0≦θ<2θより， π/3≦ θ' <7/3πなので，

   θ'=π/2のとき最大値2, θ'=3/2πのとき最小値 − 2．

   θ=θ'-π/3なので

   θ=π/6のとき，最大値2

   θ=7/6πのとき，最小値-2