三角関数の加法定理とその応用の練習問題

Question 1

上の①を利用して、次の等式を証明せよ。
(1) cos(α+β)=cosβ-sinβ
(2) sin(α-β)=sinβ-cosβ
(3) sin(α+β)=sinβ+cosβ

Accepted Answer

(1) ①でβを − βにおきかえると
cos{α-(-β)}=cos(-β)
+sin(-β)
⇔ cos(α+β)=cosβ-sinβ
←-θの三角比
(2) ①でβをβ-π/2におきかえると
cos{α-(β-π/2)}
=cos(β-π/2)
+sin(β-π/2)
⇔ cos{(α-β)+π/2}
=cos(β-π/2)
+sin(β-π/2)
⇔ -sin(α-β)=cosβ-sinβ
⇔ sin(α-β)=sinβ-cosβ
(3) 2.でβを − βにおきかえると
sin{α-(-β)}=sin(-β)
-cos(-β)
sin(α+β)=sinβ+cosβ
←-θの三角比

Question 2

(1) 45°-30°=15°であることに注意して、sin15°とcos15°の値を求めよ。
(2) π/4+π/6=(5/12)πであることに注意してsin((5/12)π)とcos((5/12)π)の値を求めよ。

Accepted Answer

(1) 加法定理をもちいて
sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=√2/2・√3/2-√2/2・1/2
=(√6-√2)/4
cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
=√2/2・√3/2+√2/2・1/2
=(√6+√2)/4
(2) 加法定理をもちいて
sin((5/12)π)=sin(π/4+π/6)
=sin((π/4)cos)π/6+cos((π/4)sin)π/6
=√2/2・√3/2+√2/2・1/2
=(√6+√2)/4
cos((5/12)π)=cos(π/4+π/6)
=cos((π/4)cos)π/6-sin((π/4)sin)π/6
=√2/2・√3/2-√2/2・1/2
=(√6-√2)/4

Question 3

図のようにX(1, 0)とA(2, 1)があり、∠AOX=αとする。
(1) cosα, sinαの値を求めよ。
(2) △AOXをOを中心にπ/3回転移動し、△A'OX'になったとする。 このとき、X'、A'の座標を求めよ。
［図：座標平面上に、原点O、x軸上の点X、x座標が2でy座標が1の点Aを結んだ△AOXが描かれている。∠AOXの角度はαと表示されている。］

Accepted Answer

(1) OA=√5より、
cosα=2/√5, sinα=1/√5。
(2) 図のように書くことができ、
［図：座標平面上に、原点O、x軸上の点X、点Aを結ぶ実線の図形と、回転後の点X'、点A'を示す破線の図形がある。線分OAとx軸正の向きのなす角はπ/3、点Aのx座標は2、線分OA'とy軸のなす角はαである。］
X'(cos(π/3), sin(π/3))なので X'(12, √3/2)。
A'(√5cos(α+π/3), √5sin(α+π/3))であり、
cos(α+π/3)=cos(π/3)-sin(π/3)
=2/√5・12 - 1/√5・√3/2
=(2-√3)/2√5
sin(α+π/3)=sin(π/3)+cos(π/3)
=1/√5・12 + 2/√5・√3/2
=(1+2√3)/2√5
←正弦と余弦の加法定理
より、 A'((2-√3)/2, (1+2√3)/2)。
←cos(α+π/3), sin(α+π/3)をそれぞれ√5倍した

Question 4

上の②を利用して、次の等式を証明せよ。
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)

Accepted Answer

②のβを − βにおきかえると
tan{α+(-β)}=(tanα+tan(-β))/(1-tan(-β))
⇔ tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)
←-θ の三角比

Question 5

0<α<π/2, 0<β<π/2で、tanα=5, tanβ=3/2のとき、次の問いに答えよ。
(1) tan(α+β), tan(α-β)の値を求めよ。
(2) α+βの値を求めよ。

Accepted Answer

(1) 正接の加法定理より
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanβ)
=(5+3/2)/(1-5・3/2)=-1
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)
=(5-3/2)/(1+5・3/2)=7/17
(2) 0<α+β<πおよび、tan(α+β)=-1より、α+β=(3/4)πである。

Question 6

直線l:y=2x-1,m:y=(1/3)x+1/3について、以下の問いに答えよ。
(1) 直線l,mがx軸の正の向きとなす角をα,βとするとき、tanα,tanβの値を求めよ。 ただし、角は反時計回りを正の向きとする。
(2) 2直線l,mのなす鋭角をθとする。正接の加法定理を利用しθの値を求めよ。

Accepted Answer

(1) 直線lとmの傾きはそれぞれ、2,1/3なので、
tanα=2,tanβ=1/3である。
(2) θ = α − βなので
tanθ
=tan(α-β)
=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)
=(2-1/3)/(1+2・1/3)
=1
0≦θ≦π/2より、θ=π/4となる。
［図：座標平面上に2直線 y=2x-1 と y=1/3 x+1/3 があり、各直線がx軸の正の向きとなす角がそれぞれα、βと表されている。また、2直線の交わる部分に、そのなす角θが示されている。］
以下では、交わる2直線y=m1x+n1,y=m2x+n2のなす鋭角θについて、一般的に考えてみよう。
［図：座標平面上に交わる2直線 y=m1 x+n1 と y=m2 x+n2、およびそれらを原点を通るように平行移動した直線 y=m1 x と y=m2 x があり、どちらの2直線のなす鋭角も θ と示されている。］
図のように、直線を平行移動しても2直線のなす角は変わらないので、y=m1x,y=m2xの場合について考えてゆけばよい。
直線y=m1 x, y=m2 xがx軸の正の向きとなす、正の角をそれぞれα,β (αβ)とする。
正接の値は直線の傾きを表していたので、tanα=m1, tanβ=m2である。
いま、正接の加法定理から
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanβ)=(m1-m2)/(1+m1m2)
と計算できる。
［図：座標平面上に原点を通る2直線 y=m1 x と y=m2 x があり、x軸の正の向きとなす角がそれぞれ α、β と表されている。2直線のなす角は θ と示されている。］
(1) (m1-m2)/(1+m1m2)0,すなわち0<α-β <π/2のとき
tanθ=tan(α-β)=(m1-m2)/(1+m1m2) (0)
［図：座標平面上に原点を通る2直線 y=m1 x と y=m2 x があり、x軸の正の向きとなす角がそれぞれ α と β で示されている。また、原点の下側で2直線がなす角が θ とされている。］
(2) (m1-m2)/(1+m1m2)<0,すなわちπ/2<α-β<πのとき
tanθ=tan{π-(α-β)}
=-tan(α-β)
=-(m1-m2)/(1+m1m2) (0)
いずれにしても、tanθ  0なので、次のようにまとめられる。

Question 7

(1) 2直線y=2x-1, y=-x+3なす角をθとするとき、tanθの値を求めよ。
(2) 直線y=2x+3とのなす角がπ/4である直線の傾きmを求めよ。

Accepted Answer

(1) それぞれ傾きは2, -1なので
tanθ
=|(2 -(-1))/(1+2・ (-1))|
=|-3|
=3
(2) 傾きは2, mである2直線のなす角がπ/4なので
tan(π/4)=|(2 -m)/(1+2・ m)|
⇔
1=|(2-m)/(2m+1)|
よって、2m+1=2-mまたは2m+1=m-2であればよいので、 m=1/3, -3。

Question 8

余弦の2倍角の公式
cos2α=cos²α-sin²α
=1-2sin²α=2cos²α-1
を証明せよ。

Accepted Answer

余弦の加法定理cos(α+β)=cosβ-sinβにおいて、β = αとすると
cos2α=cosα-sinα
=cos²α-sin²α
sin²α+cos²α=1より、cos²α=1-sin²αだから
cos2α=(1-sin²α)-sin²α
=1-2sin²α
sin²α+cos²α=1より、sin²α=1-cos²αだから
cos2α=cos²α-(1-cos²α)
=2cos²α-1
2倍角の公式
2倍角の公式は、三角関数の加法定理から自力で導けるように練習しておこう。

Question 9

次の『半角の公式』を証明せよ。
(1) sin²α/2=(1-cosα)/2
(2) cos²α/2=(1+cosα)/2
(3) tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)

Accepted Answer

(1) 余弦の倍角の公式cos2α = 1 – 2sin²αより
sin²α=(1-cos2α)/2
①
ここで、αをα/2とおきかえて
sin²α/2=(1-cosα)/2
(2) 余弦の倍角の公式cos2α = 2cos²α – 1より
cos²α=(1+cos2α)/2
②
ここで、αをα/2とおきかえて
cos²α/2=(1+cosα)/2
(3) tanα=sinα/cosαより
tan²α=sin²α/cos²α
=(1-cos2α)/2・2/(1+cos2α)
=(1-cos2α)/(1+cos2α)
←①、②を使った
ここで、αをα/2とおきかえて
tan²α/2=(1-cosα)/(1+cosα)
半角の公式
半角の公式も、2倍角の公式から自力で導けるように練習しておこう。

Question 10

t=tan(x/2)とするとき、cosx, sinx, tanxをtの式で表せ。

Accepted Answer

t²=tan²x/2 =(1-cosx)/(1+cosx)より
(1+cosx) t² =1-cosx
⇔ (t² +1)cosx =1-t²
⇔ cosx=(1-t²)/(1+t²)
また、倍角の公式より
tanx=2tan(x/2)/(1-tan²x/2)=2t/(1-t²)
なので
sinx=cosx tanx
=(1-t²)/(1+t²)・ 2t/(1-t²)=2t/(1+t²)

Question 11

次の三角関数を合成して、Asin(θ+α)の形に変形せよ。 αの値が求められるときには求めよ(ただし、0≦α<2πとする)。
(1) sinθ +cosθ
(2) -sinθ +√3cosθ
(3) 3sinθ -4cosθ

Accepted Answer

(1) ［図：座標平面上に、原点Oと点(1, 1)を結ぶ線分が描かれている。線分の長さは√2で、x軸の正の部分となす角はπ/4である。点(1, 1)から両軸へ破線が引かれている。］
sinθ+cosθ
=√(1²+1²)((1/√2)sinθ+(1/√2)cosθ)
=√2(cos((π/4)sin)θ+sin((π/4)cos)θ)
=√2sin(θ+π/4)
(2) ［図：座標平面上に、原点Oと点(-1, √3)を結ぶ線分が描かれている。線分の長さは2で、x軸の正の部分となす角は2/3πである。点(-1, √3)から両軸へ破線が引かれている。］
-sinθ+√3cosθ
=√((-1)²+√3²)(((-1)/2)sinθ+(√3/2)cosθ)
=2(cos((2π/3)sin)θ+sin((2π/3)cos)θ)
=2sin(θ+2π/3)
(3) ［図：座標平面上に、原点Oと点(3, -4)を結ぶ線分が描かれている。線分の長さは5で、x軸の正の部分から反時計回りに測ったなす角がαと示されている。］
3sinθ-4cosθ
=√(3²+(-4)²)((3/5)sinθ-(4/5)cosθ)
=5(cosθ+sinθ)
=5sin(θ +α )
ただし、αは図のような角度である。

Question 12

(1) 関数y=cos² θ -2sinθ +1 (0≦ θ <2π)の最大値・最小値を求めよ。
(2) 0≦ θ <2πのとき、方程式sin² θ =cos θ+1を解け。
(3) 0≦ θ <2πのとき、不等式2cos² θ +sin θ 2を解け。

Accepted Answer

(1) y=cos²θ-2sinθ+1
=(1-sin²θ)-2sinθ+1
←拡張された三角関数の相互関係を用いてsinθにそろえた
sinθ = tとおく。0≦θ<2πより-1≦t≦1なので
y=-t²-2t+2
=-(t+1)²+3 (-1≦ t ≦ 1)
←tについての2次関数の最大・最小の問題になった
［図：上に凸の放物線 y=-t²-2t+2 のうち、tが-1から1までの範囲が実線、その外側が破線で描かれている。t=-1で最大値3、t=1で最小値-1をとる点に黒丸が付いている。］
図より、yは
t = − 1のとき最大値3,t = 1のとき最小値 − 1
をとる。t =sinθなので
［図：原点Oを中心とする単位円に、t=sinθ=1 となる上端の点と t=sinθ=-1 となる下端の点が示されている。x軸の正の向きから各点の動径までの回転が矢印で描かれている。］
θ=(3/2)πのとき最大値3
θ=π/2のとき最小値-1
(2) sin²θ=cosθ+1
⇔ 1-cos²θ=cosθ+1
⇔ cos²θ+cosθ=0
⇔ cosθ(cosθ+1)=0
⇔ cosθ=0, -1
［図：原点Oを中心とする単位円に、cosθ=0 となるy軸上の2点と cosθ=-1 となる左端の点が示され、x軸の正の向きから各点の動径までの回転が矢印で描かれている。］
0≦θ<2πの範囲でcosθ=0, -1を満たすθは、図よりθ=π/2, π, (3/2)π。
(3) 2cos²θ+sinθ2
⇔ 2(1-sin²θ)+sinθ2
←拡張された三角関数の相互関係を用いてcosθにそろえた。
⇔ -2sin²θ+sinθ0
⇔ sinθ(2sinθ-1)<0
←sin²θの係数を正にするため、両辺を − 1で割ってから因数分解した
⇔ 0<sinθ<1/2
［図：原点Oを中心とする単位円で、y座標が0から1/2までの帯が網掛けされている。0<sinθ<1/2 を満たす弧が左右2か所に太線で描かれ、その端の点はすべて白丸である。］
0≦θ<2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は、図の太線部分である。すなわち
0<θ<π/6, (5/6)π<θ<π

Question 13

(1) 関数y=-cos 2θ -2sinθ (0≦ θ <2π)の最大値・最小値を求めよ。
(2) 0≦ θ <2πのとき、方程式sin 2θ =cos θを解け。
(3) 0≦ θ <2πのとき、方程式tan² θ/2 =1-cos θを解け。
(4) 0≦ θ <2πのとき、不等式cos 2θ -cos θ ≧ 0を解け。
(5) 0≦ θ <2πのとき、不等式cos² θ/2 θ+1を解け。

Accepted Answer

(1) y==-cos2θ-2sinθ
=-(1-2sin²θ)-2sinθ
←2倍角の公式を用いてsinθにそろえた。
sinθ=tとおく。0≦θ<2πより-1≦t≦1なので
y=2t²-2t-1
=2(t-1/2)²-3/2
［図：下に凸の放物線 y=2t²-2t-1 のうち、tが-1から1までの範囲が実線、その外側が破線で描かれている。t=-1で最大値3、t=1/2で最小値-3/2をとる。］
図より、yは
t = − 1のとき最大値3,t=1/2のとき最小値-3/2
をとる。t = sinθなので
［図：原点Oを中心とする単位円に、t=sinθ=1/2 となる2点と t=sinθ=-1 となる下端の点へ動径が引かれ、x軸の正の向きからの回転が矢印で示されている。］
θ=(3/2)πのとき最大値3
θ=π/6, (5/6)πのとき最小値-3/2
(2) sin2θ=cosθ
⇔ 2sinθ=cosθ
⇔ cosθ(2sinθ-1)=0
⇔ cosθ=0, sinθ=1/2
←2倍角の公式を用いて共通因数を作った。
［図：原点Oを中心とする単位円に、sinθ=1/2 となる2点と cosθ=0 となるy軸上の2点へ動径が引かれ、x軸の正の向きからの回転が矢印で示されている。］
0≦θ<2πの範囲でcosθ=0, sinθ=1/2を満たすθは、図より
θ=π/6, π/2, (5/6)π, (3/2)π
(3) tan²θ/2=1-cosθ
⇔ (1-cosθ)/(1+cosθ)=1-cosθ
⇔ 1-cosθ=(1-cosθ)(1+cosθ)
⇔ cos²θ-cosθ=0
⇔ cosθ(cosθ-1)=0
⇔ cosθ=0, cosθ=1
←半角の公式を用いてcosθにそろえた。
［図：原点Oを中心とする単位円に、cosθ=0 となるy軸上の2点と cosθ=1 となる右端の点が示され、x軸の正の向きから各点の動径までの回転が矢印で描かれている。］
0≦θ<2πの範囲でcosθ=0, cosθ=1を満たすθは、図より
θ=0, π/2, (3/2)π
(4) cos2θ-cosθ≧0
⇔ (2cos²θ-1)-cosθ≧0
⇔ (2cosθ+1)(cosθ-1)≧0
⇔ cosθ≦-1/2, 1≦cosθ
←2倍角の公式を用いてcosθでそろえた
［図：原点Oを中心とする単位円で、x座標が-1/2以下の左側と1以上の右側が網掛けされている。cosθ≦-1/2 を満たす左の弧が太線で描かれ、cosθ=1 となる右端の点にも黒丸がある。］
0≦θ<2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は、図の網掛け部分である。すなわち
θ=0, (2/3)π≦θ≦(4/3)π
(5) cos²θ/2θ+1
⇔ (1+cosθ)/2θ+1
⇔ 1+cosθ≧2cosθ+2
⇔ cosθ≦-1
←半角の公式を用いてcosθでそろえた
［図：原点Oを中心とする単位円で、x座標が-1以下の左側の領域が網掛けされている。cosθ≦-1 を満たすのは左端の点(-1, 0)だけで、原点からその点へ向かう動径が太線で描かれている。］
0≦θ<2πの範囲で上の不等式を満たすθの範囲は、図の太線部分である。すなわち
θ=π

Question 14

(1) 0≦ θ <2πのとき、方程式sin θ -√3cos θ =1を解け。
(2) 0≦ θ <2πのとき、不等式sinθ +cosθ <0を解け。
(3) 関数y=sinθ +√3cos θ (0≦ θ <2π)の最大値・最小値を求めよ。

Accepted Answer

(1) 三角関数の合成より
［図：座標平面上に、原点Oと点(1, -√3)を結ぶ長さ2の線分が描かれている。この線分とx軸の正の部分とのなす角は -π/3 である。］
sinθ-√3cosθ=1
⇔ 2{(1/2)sinθ +(-√3/2)cosθ}=1
⇔ 2sin(θ-π/3)=1
θ-π/3=θ'とおくと
sinθ'=1/2
［図：座標平面上に原点Oを中心とする単位円があり、点線 y=1/2 と交わる2本の動径が描かれている。x軸の正の部分から各動径への角θ'が矢印で示され、sin θ'=1/2 と添えられている。］
0≦θ<2πより、-π/3≦θ'<(5/3)πである。 この範囲でsinθ'=1/2を満たすθ'は、図より
θ'=(1/6)π, (5/6)π
θ=θ'+π/3なので
θ=(1/2)π, (7/6)π
(2) 三角関数の合成より
［図：xy平面上に原点Oと点(1, 1)を結ぶ線分が描かれており、x軸とy軸の1の位置から点(1, 1)へ破線が引かれている。線分の長さは√2で、x軸の正の部分となす角はπ/4である。］
sinθ+cosθ<0
⇔ √2((√2/2)sinθ+(√2/2)cosθ)<0
⇔ √2sin(θ+(1/4)π)<0
θ+(1/4)π=θ'とおくと
sinθ'<0
［図：原点Oを中心とする単位円において、x軸より下の領域が網掛けされている。網掛け領域に含まれる下半円の弧が太線で表され、両端のx=-1とx=1の点は白丸になっている。］
0≦θ<2πより、 (1/4)π≦θ'<(9/4)πなので、この範囲で上の不等式を満たすθ'は、 図の網掛け部分である。すなわち
π<θ'<2π
θ=θ'-(1/4)πなので
(3/4)π<θ<(7/4)π
(3) 三角関数の合成より
［図：座標平面上に、原点Oと点(1, √3)を結ぶ線分が描かれており、その長さは2である。この線分とx軸の正の部分とのなす角はπ/3である。］
y=sinθ+√3cos θ
=2(12sinθ + (√3/2)cosθ)
=2sin(θ+π/3)
θ'=θ+π/3とおくと、
この三角関数はy = 2sinθ'。
0≦θ<2θより、π/3≦ θ' <(7/3)πなので、
θ'=π/2のとき最大値2,θ'=(3/2)πのとき最小値 − 2。
θ=θ'-π/3なので
θ=π/6のとき、最大値2
θ=(7/6)πのとき、最小値-2

Question 15

関数f(x)=sinx cosx -sinx -cosx (0≦ x ≦π)について以下の問いに答えよ。
(1) t=sinx+cosxとする。f(x)をtの式で表せ。
(2) tのとりうる値を求めよ。
(3) f(x)の最大値・最小値と、それぞれを与えるxの値を求めよ。

Accepted Answer

(1) t²=(sinx+cosx)²=1 +2sinxcosxなので
sinxcosx=(t² -1)/2
これを代入すれば
f(x)=(t² -1)/2 -(sinx +cosx)
=1/2 t² -t - 1/2
(2) 三角関数の合成より
［図：xy座標平面上に、原点Oと点(1, 1)を結ぶ線分が描かれている。この線分の長さは√2で、x軸の正の部分となす角はπ/4と示されている。］
t=sinx +cosx
=√2 ((√2/2)sinx + (√2/2)cosx )
=√2sin(x + π/4)
［図：座標平面上の単位円に、x軸の正の向きとなす角が π/4 である動径が描かれている。その動径から反時計回りに半周した反対側の動径までの円弧が、太線で強調されている。］
0≦ x ≦ πより、π/4 ≦ x+π/4 ≦ (5/4)πなので 図より-√2/2(x + π/4)≦ 1である。
つまり、t=√2sin(x + π/4)のとりうる範囲は -1 ≦ t ≦ √2。
(3) 1.,2.より、f(x)=1/2 t² -t - 1/2 (-1 ≦ t ≦ √2) である。これをtについて平方完成すると
f(x)=1/2(t-1)²-1
［図：放物線 y=1/2 t²-t-1/2 のうち、横軸の-1から√2までの範囲が実線で描かれている。点(-1, 1)と、y=-1となる頂点付近に黒丸が付いている。］
となる。図より、f(x)は
t = − 1のとき1で最大、t = 1のとき − 1で最小
となる。それぞれのときのxの値を求めると
t=-1 ⇔ √2sin(x + π/4)=-1
⇔ sin(x + π/4)=-√2/2
⇔ x + π/4=(5/4)π ⇔ x=π
t=1 ⇔ √2sin(x + π/4)=1
⇔ sin(x + π/4)=√2/2
⇔ x + π/4=π/4, (3/4)π ⇔ x=0, π/2
以上をまとめて、f(x)は
x = πのとき1で最大
x=0, π/2のとき − 1で最小

Question 16

sin3αをsinαだけの式で表せ。また、cos3αをcosαだけの式で表せ。

Accepted Answer

sin3α=sin(2α +α)
=sin2α cosα +cos2α sinα
←正弦と余弦の加法定理
=(2sinα cosα)cosα +(1-2sin²α)sinα
←2倍角の公式
=2sinα cos²α +sinα -2sin³α
=2sinα(1-sin²α) +sinα -2sin³α
←拡張された三角関数の相互関係
=3sinα -4sin³α
cos3α=cos(2α +α)
=cos2α cosα -sin2α sinα
←正弦と余弦の加法定理
=(2cos²α -1)cosα -(2sinα)sinα
←2倍角の公式
=2cos³α -cosα -2sin²α
=2cos³α -cosα -2(1-cos²α)cosα
←拡張された三角関数の相互関係
=4cos³α -3cosα

Question 17

0≦ x ≦πのとき、不等式cos3x +2cosx=0を満たすxを求めよ。

Accepted Answer

cos3x =4cos³x -3cosxなので
cos3x +2cosx =0
⇔ 4cos³x -3cosx +2cosx=0
⇔ (4cos²x -1)cosx =0
⇔ cosx =-1/2, 1/2, 0
0≦ x ≦ πの範囲でこれを解いて、
x =π/3, π/2, (2/3)π
［図：単位円上に、cos x = -1/2、cos x = 0、cos x = 1/2 を満たす3つの点が表されている。原点Oからの動径が太線で描かれ、各点を通る縦の破線が添えられている。］

Question 18

次の等式を証明せよ。
(1) cosβ=12{cos(α+β)+cos(α-β)}
(2) sinβ
=-12{cos(α+β)-cos(α-β)}

Accepted Answer

(1) 余弦についての加法定理
cos(α +β)=cosβ-sinβ ③
cos(α -β)=cosβ+sinβ ④
において、③+④より
cos(α+β)+cos(α-β)
=2cosβ
⇔ cosβ
=12{cos(α+β)+cos(α -β)}
(2) 同じく③-④より
cos(α+β)-cos(α-β)
=-2sinβ
⇔ sinβ
=-12{cos(α+β)-cos(α-β)}
積和の公式
この公式は、三角関数の積を三角関数の和で書き換えるという意味があり、 三角関数の次数を下げる効果がある。 FTEXT 数学IIIで学ぶ三角関数の積分法などでよくもちいられる。

Question 19

(1) 0≦ x < 2πのとき、方程式sin 4x +sin 3x +sin 2x +sin x=0を解け。
(2) 0≦ x < 2πのとき、不等式cos x -cos 2x +cos 3x <cos 4xを解け。

Accepted Answer

(1) sin 4x +sin 3x +sin 2x +sin x=0
←4x-2x=3x-xに着目。
4x+x =3x+2xや4x-3x=2x-xに着目しても共通因数を作れるが、分数が出てきて煩雑である。
⇔ (sin 4x +sin 2x) +(sin 3x +sin x)=0
⇔ 2sin((4x+2x)/2) cos((4x-2x)/2)
+2sin((3x+x)/2) cos((3x-x)/2)=0
←三角関数の和を積に変換する公式
⇔ 2(sin3x cosx + sin2x cosx)=0
←共通因数cos xができた
⇔ (sin3x +sin2x)cosx=0
⇔ (2sin((3x +2x)/2) cos((3x -2x)/2))cosx=0
←三角関数の和を積に変換する公式
⇔ sin((5/2)x)cos(x/2) cosx=0
⇔ sin((5/2)x)=0, cos(x/2)=0, cosx=0
それぞれの方程式を解くと
0≦ (5/2)x<5πより
sin((5/2)x)=0
⇔ (5/2)x=0, π, 2π, 3π,4π
⇔ x=0, (2/5)π, (4/5)π, (6/5)π, (8/5)π
0≦ x/2<πより
cos(x/2)=0 ⇔ x/2=π/2
⇔ x=π
0≦ x<2πより
cosx=0 ⇔ x=π/2, (3/2)π
よって、x=0, 25π, 12π, 45π, π,
65π, 32π, 85π。
(2) cos x -cos 2x +cos 3x<cos 4x
←3x-x=4x-2xに着目。
4x+x =3x+2xや4x-3x=2x-xに着目しても共通因数を作れるが、分数が出てきて煩雑である。
⇔ cos 3x +cos x <cos 4x+cos 2x
⇔ 2cos((3x+x)/2) cos((3x-x)/2)
<2cos((4x+2x)/2) cos((4x-2x)/2)
←三角関数の和を積に変換する公式
⇔ cos2x cosx <cos3x cosx
←共通因数cos xができた
⇔ (cos3x -cos2x)cosx0
⇔ (-2sin((3x +2x)/2) sin((3x -2x)/2)) cosx
0
←三角関数の和を積に変換する公式
⇔ sin((5/2)x) sin(x/2) cosx<0 ①
ここで、0≦ x/2<πよりsin(x/2)≧ 0である。
(1) sin(x/2)=0、つまり、x=0のとき①は不適。
(2) sin(x/2)0より、①はsin((5/2)x) cosx<0となる。
sin52 x0, cos x<0のとき
←sin52 x0を解くと 0<52 x<π, 2π<52 x<3π,
4π<52 x<5π
0<x<25π, 45π<x<65π,
85π<x<2π
12π<x<32π
上の式を②、下の式を③とする。
［図：数直線x上に、範囲②である0から2/5π、4/5πから6/5π、8/5πから2πと、範囲③である1/2πから3/2πが示され、共通部分である4/5πから6/5πに斜線が引かれている。］
なので、 45π < x<65π。
sin52 x<0, cos x0のとき
←sin52 x<0を解くと π<52 x<2π, 3π<52 x<4π
25π<x<45π, 65π<x<85π
0<x<12π, 32π<x<2π
上の式を④、下の式を⑤とする。
［図：数直線上に丸4と丸5の範囲が示され、共通部分である2/5πから1/2πの間と、3/2πから8/5πの間の2か所に斜線が引かれている。端点はすべて白丸である。］
なので、 25π< x< 12π, 32π< x< 85 π。
以上をまとめて
25π< x< 12π, 45π < x< 65π,
32π< x< 85 π。

三角関数の加法定理とその応用の練習問題（全19問・解答つき）

問題1正弦と余弦の加法定理

問題2三角関数の加法定理と平面図形

問題3正接の加法定理

問題42直線のなす角〜その1〜

問題52直線のなす鋭角〜その2〜

問題6半角の公式の利用

問題7三角関数の合成

問題8三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その1〜

問題9三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その2〜

問題10三角関数を含む関数・方程式・不等式〜その3〜

問題11 $＝ t＝sin x+cos x$ とおく

問題123倍角の公式の利用

問題13三角関数を含む方程式・不等式〜その4〜

覚えておきたい事項（6問）

暗記1正弦と余弦の加法定理の導出

暗記2正接の加法定理の導出

暗記32倍角の公式の導出

暗記4半角の公式の導出

暗記53倍角の公式の導出

暗記6積和の公式の導出