指数の拡張の練習問題

Question 1

x = 3, y = − 2として、整数に拡張された指数法則1.、2.、3.が成り立つのを確認せよ。

Accepted Answer

(1) の確認
（左辺）=a³a^-2=a³×1/a²=a
（右辺）=a^3+(-2)=a
となり、確かに成立する。
(2) の確認
（左辺）=(a³)^-2=1/(a³)²=1/a⁶
（右辺）=a^3・(-2)=a^-6=1/a⁶
となり、確かに成立する。
(3) の確認
（左辺）=(ab)^-2=1/(ab)²=1/a²b²
（右辺）=a^-2b^-2=1/a²×1/b²=1/a²b²
となり、確かに成立する。

Question 2

整数に拡張された指数法則1'.、3'.を、整数に拡張された指数法則1.、2.、3.を用いて証明せよ。

Accepted Answer

・1'.
の証明
a^x/a^y=a^x×1/a^y=a^x×a^-y
=a^x-y
（注） 整数に拡張された指数法則1.
・3'.
の証明
(a/b)^x=(a×1/b)^x=(a× b^-1)^x
=a^x× (b^-1)^x （注） 整数に拡張された指数法則3.
=a^x× b^-x （注） 整数に拡張された指数法則2.
=a^x×1/b^x=a^x/b^x

Question 3

次の計算をせよ。
(1) 2・2^-22^-3
(2) 10¹⁰2⁷・5⁵
(3) (a²b)³/(-ab³)²
(4) (a⁵b^-2)^-3(a^-2b)⁵

Accepted Answer

(1) 計算していくと
2・2^-22^-3=2・2^-2・2³ （注） 整数に拡張された指数法則1'.
=2^1-2+3 （注）整数に拡張された指数法則1.
=2²=4
(2) 計算していくと
10¹⁰2⁷・5⁵=(10)¹⁰・2^-7・5^-5 （注）整数に拡張された指数法則1'.
=(2・5)¹⁰・2^-7・5^-5
=2¹⁰・5¹⁰・2^-7・5^-5 （注）整数に拡張された指数法則3.
=2^10-7・5^10-5 （注）整数に拡張された指数法則1.
=2³・5⁵=25000
(3) 計算していくと
(a²b)³/(-ab³)²=a⁶b³/a²b⁶ （注）整数に拡張された指数法則3.
=a⁶b³a^-2b^-6 （注）整数に拡張された指数法則1'.
=a^6-2b^3-6 （注）整数に拡張された指数法則1.
=a⁴b^-3
(4) 計算していくと
(a⁵b^-2)^-3(a^-2b)⁵=a^-15b⁶a^-10b⁵ （注）整数に拡張された指数法則3.
=a^-15b⁶a¹⁰b^-5 （注）整数に拡張された指数法則1'.
=a^-15+10b^6-5 （注）整数に拡張された指数法則1.
=a^-5b

Question 4

次のうち、a^m/nの形で表されたものは√[n]a^mの形で表し、 √[n]a^mの形で表されたものはa^m/nの形で表せ。
(1) a¹/2
(2) a²/5
(3) a^-3/2
(4) a^-2/5
(5) √[5]a
(6) √[3]a⁵
(7) √[6]a^-3
(8) 1√[4]a³

Accepted Answer

(1) a¹/2=√a
(2) a²/5=√[5]a²
(3) a^-3/2=√[2]a^-3
(4) a^-2/5=√[5]a^-2
(5) √[5]a=a¹/5
(6) √[3]a⁵=a⁵/3
(7) √[6]a^-3=a^(-3)/6=a^-1/2
(8) 1√[4]a³=√[4]1/a³=√[4]a^-3=a^-3/4

Question 5

p=2/3, q=1/3として、上の有理数に拡張された指数法則1.、2.、3.が成り立つのを確認せよ。

Accepted Answer

(1) の確認
（左辺）
=a^(2/3)a¹/3=√[3]a²√[3]a
=√[3]a³ （注） 累乗根の基本性質2.
=a
（右辺）
=a^2/3+1/3=a
となり、確かに成立する。
(2) の確認
（左辺）
=(a²/3)¹/3=√[3]√[3]a²
=√[9]a² （注） 累乗根の基本性質5.
（右辺）
=a^2/3×1/3=a²/9=√[9]a²
となり、確かに成立する。
(3) の確認
（左辺）=(ab)²/3=√3²=√[3]a²b²
（右辺）=a^(2/3)b²/3=√[3]a²√[3]b²
=√[3]a²b² （注） 累乗根の基本性質2.

Question 6

次の値を求めよ。
(1) 100¹/2
(2) 25^-1/2
(3) 8^-2/3
(4) 16^0.75

Accepted Answer

(1) 100¹/2=(10²)¹/2
=10^2×1/2
=10
（注） 有理数に拡張された指数法則2.
(2) 25^-1/2=(5²)^-1/2
=5^2×(-1/2)
=5^-1=1/5
（注） 有理数に拡張された指数法則2.
(3) 8^-2/3=(2³)^-2/3
=2^3×(-2/3)
=2^-2=1/4
（注） 有理数に拡張された指数法則2.
(4) 16^0.75=16⁷5/100=16³/4=(2⁴)³/4
=2^4×3/4
=2³=8
（注） 有理数に拡張された指数法則2.

Question 7

累乗根の値を求める-その2-の例題を、指数になおすことによって計算せよ。 答えは根号を使わず、指数のままでよい。
(1) √[3]4√[3]16
(2) √[5]96√[5]3
(3) √[3]216
(4) √[3]√729
(5) √[6]8
(6) √[15]27

Accepted Answer

(1) √[3]4√[3]16=√[3]2²√[3]2⁴
=2^(2/3)2⁴/3 （注）有理数に拡張された指数の定義
=2^2/3+4/3 （注）有理数に拡張された指数法則1.
=2²=4
(2) √[5]96√[5]3=(96¹/5)/(3¹/5) （注）有理数に拡張された指数の定義
=(96/3)¹/5=32¹/5=(2⁵)¹/5 （注）有理数に拡張された指数法則3'.
=2^5・1/5 （注）有理数に拡張された指数法則2.
=2
(3) √[3]216=√[3]6³=6
(4) √[3]√729=(729¹/2)¹/3 （注）有理数に拡張された指数の定義
=729^1/2・1/3 （注）有理数に拡張された指数法則2.
=729¹/6=(3⁶)¹/6
=3^6・1/6 （注）有理数に拡張された指数法則2.
=3
(5) √[6]8=√[6]2³
=2³/6 （注）有理数に拡張された指数の定義
=2¹/2
(6) √[15]27=√[15]3³
=3³/15 （注）有理数に拡張された指数の定義
=3¹/5

指数の拡張の練習問題（全7問・解答つき）

問題1整数に拡張された指数

問題2整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明

問題3指数の計算-その1-

問題4指数と累乗

問題5有理数に拡張された指数

問題6指数の計算-その2-

問題7累乗根の値を求める-その2-（再掲）