指数の拡張の練習問題（全7問・解答つき）
数学II「指数の拡張」（指数と指数関数）の練習問題を7問まとめました。解答は各問のすぐ下に折りたたんであります。そのまま印刷すれば、解答の見えない問題プリントになります。
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問題1整数に拡張された指数
x = 3，y = − 2として，整数に拡張された指数法則1.，2.，3.が成り立つのを確認せよ．
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の確認
（左辺） =a³a^-2=a³×1/a²=a
（右辺） =a^3+(-2)=a
となり，確かに成立する．
の確認
（左辺） =(a³)^-2=1/(a³)²=1/a⁶
（右辺） =a^3・(-2)=a^-6=1/a⁶
となり，確かに成立する．
の確認
（左辺） =(ab)^-2=1/(ab)²=1/a²b²
（右辺） =a^-2b^-2=1/a²×1/b²=1/a²b²
となり，確かに成立する．
問題2整数に拡張された指数法則1'., 3'.の証明
整数に拡張された指数法則1'.，3'.を，整数に拡張された指数法則1.，2.，3.を用いて証明せよ．
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の証明
a^x/a^y=a^x×1/a^y=a^x×a^-y =a^x-y 整数に拡張された指数法則1.
の証明
(a/b)^x=(a×1/b)^x=(a× b^-1)^x
=a^x× (b^-1)^x 整数に拡張された指数法則3.
=a^x× b^-x 整数に拡張された指数法則2.
=a^x×1/b^x=a^x/b^x
問題3指数の計算-その1-
次の計算をせよ．
- 2・2^-22^-3
- 10¹⁰2⁷・5⁵
- (a²b)³/(-ab³)²
- (a⁵b^-2)^-3(a^-2b)⁵
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- 計算していくと
2・2^-22^-3=2・2^-2・2³ 整数に拡張された指数法則1'.
=2^1-2+3 整数に拡張された指数法則1.
=2²=4
- 計算していくと
10¹⁰2⁷・5⁵=(10)¹⁰・2^-7・5^-5 整数に拡張された指数法則1'.
=(2・5)¹⁰・2^-7・5^-5
=2¹⁰・5¹⁰・2^-7・5^-5 整数に拡張された指数法則3.
=2^10-7・5^10-5 整数に拡張された指数法則1.
=2³・5⁵=25000
- 計算していくと
(a²b)³/(-ab³)²=a⁶b³/a²b⁶ 整数に拡張された指数法則3.
=a⁶b³a^-2b^-6 整数に拡張された指数法則1'.
=a^6-2b^3-6 整数に拡張された指数法則1.
=a⁴b^-3
- 計算していくと
(a⁵b^-2)^-3(a^-2b)⁵=a^-15b⁶a^-10b⁵ 整数に拡張された指数法則3.
=a^-15b⁶a¹⁰b^-5 整数に拡張された指数法則1'.
=a^-15+10b^6-5 整数に拡張された指数法則1.
=a^-5b
問題4指数と累乗
次のうち，a^m/nの形で表されたものは√[n]a^mの形で表し， √[n]a^mの形で表されたものはa^m/nの形で表せ．
- a¹/2
- a²/5
- a^-3/2
- a^-2/5
- √[5]a
- √[3]a⁵
- √[6]a^-3
- 1√[4]a³
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- a¹/2=√a
- a²/5=√[5]a²
- a^-3/2=√[2]a^-3
- a^-2/5=√[5]a^-2
- √[5]a=a¹/5
- √[3]a⁵=a⁵/3
- √[6]a^-3=a^(-3)/6=a^-1/2
- 1√[4]a³=√[4]1/a³=√[4]a^-3=a^-3/4
問題5有理数に拡張された指数
p=2/3，q=1/3として，上の有理数に拡張された指数法則1.，2.，3.が成り立つのを確認せよ．
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- の確認
（左辺）
=a²/3a¹/3=√[3]a²√[3]a
=√[3]a³ 累乗根の基本性質2.
=a
（右辺）
=a^2/3+1/3=a
となり，確かに成立する．
- の確認
（左辺）
=(a²/3)¹/3=√[3]√[3]a²
=√[9]a² 累乗根の基本性質2.
（右辺）
=a^2/3×1/3=a²/9=√[9]a²
となり，確かに成立する．
- の確認
（左辺） =(ab)²/3=√[3](ab)²=√[3]a²b²
（右辺） =a²/3b²/3=√[3]a²√[3]b²
=√[3]a²b² 累乗根の基本性質2.
問題6指数の計算-その2-
次の値を求めよ．
- 100¹/2
- 25^-1/2
- 8^-2/3
- 16^0.75
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100¹/2=(10²)¹/2 =10^2×1/2 =10 有理数に拡張された指数法則2.
25^-1/2=(5²)^-1/2 =5^2×(-1/2) =5^-1=1/5 有理数に拡張された指数法則2.
8^-2/3=(2³)^-2/3 =2^2×(-2/3) =2^-2=1/4 有理数に拡張された指数法則2.
16^0.75=16⁷5/100=16³/4=(2⁴)³/4 =2^4×3/4 =2³=8 有理数に拡張された指数法則2.
問題7累乗根の値を求める-その2-（再掲）
累乗根の値を求める-その2-の例題を，指数になおすことによって計算せよ． 答えは根号を使わず，指数のままでよい．
- √[3]4√[3]16
- √[5]96√[5]3
- √[3]216
- √[3]√729
- √[6]8
- √[15]27
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- √[3]4√[3]16=√[3]2²√[3]2⁴
=2²/32⁴/3 有理数に拡張された指数の定義
=2^2/3・4/3 有理数に拡張された指数法則1.
=2²=4
- √[5]96√[5]3=(96¹/5)/(3¹/5) 有理数に拡張された指数の定義
=(96/3)¹/5=32¹/5=(2⁵)¹/5 有理数に拡張された指数法則3'.
=2^5・1/5 有理数に拡張された指数法則2.
=2
- √[3]216=√[3]6³=6
- √[3]√729=(729¹/2)¹/3 有理数に拡張された指数の定義
=729^1/2・1/3 有理数に拡張された指数法則2.
=729¹/6=(3⁶)¹/6
=3^6・1/6 有理数に拡張された指数法則2.
=3
- √[6]8=√[6]2³
=2³/6 有理数に拡張された指数の定義
=2¹/2
- √[15]27=√[15]3³
=3³/15 有理数に拡張された指数の定義
=3¹/5