微分係数と導関数の練習問題（全11問・解答つき）

1. 微分係数 f'(3) の定義より (f(x)-f(3))/(x-3) （注） f'(3)=limx→3(f(x)-f(3))/(x-3) =(x²-3²)/(x-3) =(x²-9)/(x-3) =(x-3)(x+3)/(x-3) =x+3 （注） 定義よりx≠3なので, x-3で約分した →6 (x→3) よって、 f'(3)=6。

   【別解】

   (f(3+h)-f(3))/h （注） f'(3)=limh→0(f(3+h)-f(3))/h =((3+h)²-3²)/h =(h²+6h)/h =h+6 （注） 定義よりh≠0なので, hで約分した →6 (h→0) よって、 f'(3)=6。

2. 微分係数 g'(-2) の定義より (g(x)-g(-2))/(x-(-2)) （注） g'(-2)=limx→-2(g(x)-g(-2))/(x-(-2)) =(x³-(-2)³)/(x+2) =(x+2)(x²-2x+4)/(x+2) （注） a³-b³ =(a-b)(a²+ab+b²)を使った =x²-2x+4 （注） 定義よりx≠-2なので, x+2で約分した →12 (x→-2) よって、 g'(-2)=12。

   【別解】

   g(-2+h)-g(-2) =(-2+h)³-(-2)³ =12h-6h²+h³ より (g(-2+h)-g(-2))/h=12-6h+h² →12 (h→0)

   よって、 g'(-2)=12。

1. 微分係数 f'(3) の定義より (f(x)-f(3))/(x-3) （注） f'(3)=limx→3(f(x)-f(3))/(x-3) =(2x²-4x+3-(2・3²-4・3+3))/(x-3) =(2(x²-3²)-4(x-3))/(x-3) =(2(x-3)(x+3)-4(x-3))/(x-3) =2x+2 （注） 定義よりx≠3なので, x-3で約分した →8 (x→3) よって、 f'(3)=8。

   【別解】

   (f(3+h)-f(3))/h （注） f'(3)=limh→0(f(3+h)-f(3))/h ={2(3+h)²-4(3+h)+3 -(2・3²-4・3+3)}÷h =(8h+2h²)/h =8+2h （注） 定義よりh≠0なので, hで約分した →8 (h→0) よって、 f'(3)=8。

2. 微分係数 g'(-2) の定義より (g(x)-g(-2))/(x-(-2)) （注） g'(-2)=limx→-2(g(x)-g(-2))/(x-(-2)) =[x³+2x²+1 -{(-2)³+2・(-2)²+1}] ÷(x+2) =((x³+2³)+2(x²-2²))/(x+2) ={(x+2)(x²-2x+4) +2(x+2)(x-2)}÷(x+2) =x² （注） 定義よりx≠-2なので, x+2で約分した →4 (x→-2) よって、 g'(-2)=4。

   【別解】

   g(-2+h)-g(-2) =(-2+h)³+2(-2+h)²+1 -{(-2)³+2・(-2)²+1} =4h-4h²+h³ より (g(-2+h)-g(-2))/h=4-4h+h² →4 (h→0)

   よって、 g'(-2)=4。

1. 微分係数 f'(a) の定義より (f(a+h)-f(a))/h =((a+h)²-a²)/h =(a²+2ah+h²-a²)/h =2a+h →2a (h→0) よって、 f'(a)=2a。
2. 1の a に a=3 を代入することにより f'(3)=6 また、 a=-2 を代入することにより f'(-2)=-4 となる。

上の例題の2で求めた f'(3)=6 は、定義域から微分係数を求める～その1～ の1の答えと確かに一致する。

このように、同じ関数の微分係数は、いちいち定義式に戻り計算しなくても

「 x=a における微分係数 f'(a) を求めておいて、a に必要な値を代入する」

ことによって求められる。いいかたを変えれば、a を変数とみれば f'(a) は a の関数になっているということである。変数であることをわかりやすくするため、a を x におきかえた f'(x) を以下では使うことにする。

1. 導関数 f'(x) の定義より (f(x+h)-f(x))/h=((x+h)-x)/h =1 →1 (h→0) よって、 f'(x)=1 となる。
2. 導関数 f'(x) の定義より (f(x+h)-f(x))/h=((x+h)²-x²)/h =(2xh+h²)/h =2x+h →2x (h→0) よって、 f'(x)=2x となる。
3. 導関数 f'(x) の定義より (f(x+h)-f(x))/h=((x+h)³-x³)/h =(3x²h+3xh²+h³)/h =3x²+3xh+h² →3x² (h→0) よって、 f'(x)=3x² となる。
4. 導関数 f'(x) の定義より (f(x+h)-f(x))/h =(2(x+h)³-(x+h)²-(2x³-x²))/h =(2(3x²h+3xh²+h³)-(2xh+h²))/h =((6x²-2x)h+(3x-1)h²+h³)/h =6x²-2x+(3x-1)h+h² →6x²-2x (h→0) よって、 f'(x)=6x²-2x となる。

2項定理より f(x+h)=(x+h)^n =nC0x^n+nC1x^n-1h+ nC2x^n-2h²+…+nCnh^n であるから (f(x+h)-f(x))/h ={nC0x^n+nC1x^n-1h+nC2x^n-2h² +…+nCnh^n-x^n}÷h =nC1x^n-1+nC2x^n-2h+…+nCnh^n-1 （注） nC0=1であるからnC0x^n=x^n なので-x^nと打ち消しあった →nC1x^n-1 (h→0) =nx^n-1 つまり、 f'(x)=nx^n-1 である。

また、 f(x)=1 の導関数は (f(x+h)-f(x))/h=(1-1)/h=0→0 (h→0) となり、 x⁰=1 であるから次のようにまとめることができる。

1. 微分すると y'=(2x²-5x-3)' =(2x²)'-(5x)'-(3)' =2(x²)'-5(x)'-(3)' =2・2x-5-0 =4x-5
2. 微分すると y'=((2/3)x³+(1/2)x-1/3)' =((2/3)x³)'+((1/2)x)'-(1/3)' =2/3(x³)'+1/2(x)'-(1/3)' =2/3・3x²+1/2-0 =2x²+1/2
3. 微分すると y'={(x³+1)(x²+5)}' =(x³+1)'(x²+5) +(x³+1)(x²+5)' =3x²(x²+5)+(x³+1)2x =5x⁴+15x²+2x
4. 微分すると y'={(5x-2)⁴}' =5×4(5x-2)³ =20(5x-2)³

1. まず、 f(x)=x³-x とおくと f(2)=2³-2=6 であるから曲線上の点の座標は (2, 6) とわかる。また、 f'(x)=3x²-1 より f'(2)=3・2²-1=11 以上より、求める接線の方程式は y=11(x-2)+6 ⇔ y=11x-16 法線の方程式は y=-1/11(x-2)+6 ⇔ y=-(1/11)x+68/11
2. まず、 f(x)=-2x³+x² とおくと f(-1)=-2(-1)³+(-1)²=3 であるから曲線上の点の座標は (-1, 3) とわかる。また、 f'(x)=-6x²+2x より f'(-1)=-6(-1)²+2(-1)=-8 以上より、求める接線の方程式は y=-8(x+1)+3 ⇔ y=-8x-5 法線の方程式は y=1/8(x+1)+3 ⇔ y=(1/8)x+25/8
3. まず、 f(x)=x⁴+2x³ とおくと f(-2)=(-2)⁴+2(-2)³=0 であるから曲線上の点の座標は (-2, 0) とわかる。また、 f'(x)=4x³+6x² より f'(-2)=4(-2)³+6(-2)²=-8 以上より、求める接線の方程式は y=-8(x+2)+0 ⇔ y=-8x-16 法線の方程式は y=1/8(x+2)+0 ⇔ y=(1/8)x+1/4
4. まず、 f(x)=-x⁵ とおくと f(1)=-1⁵=-1 であるから曲線上の点の座標は (1, -1) とわかる。また、 f'(x)=-5x⁴ より f'(1)=-5・1⁴=-5 以上より、求める接線の方程式は y=-5(x-1)-1 ⇔ y=-5x+4 法線の方程式は y=1/5(x-1)-1 ⇔ y=(1/5)x-6/5

1. まず、 f(x)=x²-3x+2 とおくと、 f'(x)=2x-3。傾きが 3 より 2x-3=3 ⇔ x=3 また、 f(3)=3²-3・3+2=2 より、接点の座標は (3, 2)。

   よって、求める接線の方程式は y=3(x-3)+2 ⇔ y=3x-7

2. まず、 f(x)=2x²-x+5 とおくと、 f'(x)=4x-1。傾きが 7 より 4x-1=7 ⇔ x=2 また、 f(2)=2・2²-2+5=11 より、接点の座標は(2, 11)。

   よって、求める接線の方程式は y=7(x-2)+11 ⇔ y=7x-3

3. まず、 f(x)=x³+3x-2 とおくと、 f'(x)=3x²+3。傾きが 6 より 3x²+3=6 ⇔ x=±1 また、 f(1)=1³+3・1-2=2、 f(-1)=(-1)³+3(-1)-2=-6 より、接点の座標は (1, 2) または (-1, -6)。

   よって、求める接線の方程式は y=6(x-1)+2 ⇔ y=6x-4 y=6(x+1)-6 ⇔ y=6x まとめると、 y=6x-4, y=6x

4. まず、 f(x)=x³-6x とおくと、 f'(x)=3x²-6。傾きが 6 より 3x²-6=6 ⇔ x=±2 また、 f(2)=2³-6・2=-4、 f(-2)=(-2)³-6(-2)=4 より、接点の座標は (2, -4) または (-2, 4)。

   よって、求める接線の方程式は y=6(x-2)-4 ⇔ y=6x-16 y=6(x+2)+4 ⇔ y=6x+16 まとめると、 y=6x-16, y=6x+16